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アットランダム≒ブリコラージュ

「転ぶな、風邪ひくな、義理を欠け」(長寿の心得...岸信介) /「食う、寝る、出す、風呂」(在宅生活4つの柱)

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2013年04月02日

2013年4月1日 | 2013年4月3日

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正三角形と外心円...☆

目から鱗の証明☆

画像：http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/graph/graph.htm より引用 Orz～

「正三角形ＡＢＣの外接円Ｏの弧ＢＣ上のどんな点Ｐについても、

　ＡＰ＝ＢＰ＋ＣＰ　が成り立つ。

（証明）　

ＰＣの延長上に、ＢＰ＝ＣＱとなる点Ｑをとる。　

△ＡＰＱは正三角形となり、

ＡＰ＝ＰＱ＝ＢＰ＋ＣＰ　が成り立つ。　　（証終）

（別証）　

四角形ＡＢＰＣは円Ｏに内接するので、プトレマイオスの定理より、

ＡＰ・ＢＣ＝ＢＰ・ＡＣ＋ＣＰ・ＡＢ

△ＡＢＣは正三角形なので、　ＢＣ＝ＡＣ＝ＡＢ　より、

ＡＰ＝ＢＰ＋ＣＰ　が成り立つ。　　（別証終）　」

*後半は、味も素っ気もないけど...たしかにね♪

前半の証明は見事ですねぇ☆

5823：単調列の長さ...

問題5823・・・http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/seq/monotone.htm より引用 Orz～

異なるｎ個の数字を並べるとき、

必ずｒ個の昇順 or 降順する数を含むと断定できるためのｎとｒの関係はとれるだろうか？

*なお、昇順/降順ともに，左からでも右からでもよく、また、とびとびに項を拾ってもよいこととする。

解答

・わたしの...途中までの考察...^^;

まず...r=f(n) と表す...

n=1 のときは明らかに...f(1)=1

n=2 のときも明らかに...f(2)=2

n=3 のとき...増加する２数は必ず取れるので...残りをその間の数に分ければ...

13...132

12...132

23...213 or 231

にできるから...f(3)=2

n=4 のとき...f(3)=2 なので...最初の3個の最大より小さくて、最小よりも大きい数が選べるか？

314-2

と可能なので...f(4)=2

n=5 のとき...f(4)=2なので...最初の４個の最大より小さくて、最小よりも大きな数が選べるか？

4152-3

でも...逆から...321が選べてしまう...

この辺りが上手く言えればいいんだけど...^^;

上記サイトより Orz～

・らすかるさんからのコメント

ｎ＝１～１０　で、ｒ＝１、２、２、２、３、３、３、３、３、４　となることから、

ｒ－１＜ √n ≦ ｒ　すなわち、ｒ＝(√n の端数切り上げ)

と予想され...

*実際に、鳩ノ巣原理を使って証明されているそうです。

↑

鍵コメT様からの素敵な解法を頂戴しましたぁ☆

↓

「昇順」は，左からでも右からでもいいのですね．
そう明示しておかないと，
「10,9,8,7,6,5,4,3,2,1」には2つ以上の昇順はないことになってしまいます．
また，「とびとびに項を拾ってもよい」ことも明示しておく方がよさそうです．

*直しておきま～す ^^; Orz～

すると，この問題は，そこそこ有名な問題です．

以下，左から見ることにし，「昇順または降順」と言い換えることにします．
昇順，降順の列をr個までに抑えようとすると，項数はr^2が上限であることは
次のように証明できます．

数列のある項について，
その項を末項とする昇順の列の最大項数をx,降順の列の最大項数をy
として，各項に座標を対応させます．
例えば12,15,7,8ではじまっているとすれば，
12については，x=1,y=1.(昇順12,降順12)
15については，x=2,y=1.(昇順12,15,降順15)
7については，x=1,y=2.(昇順7,降順12,7)
8については，x=2,y=2.(昇順7,8,降順12,8)
などとなります．
(昇順，降順の数列は一例であり，他にもある場合もあります．)

このとき，2つの項 a,b は，座標が一致することはありません．
(aが先に出てきているとして，
a<bなら，x座標はbの方が大きいはず，
a>bなら，y座標はbの方が大きいはず．)

よって，x座標，y座標ともにrまでであれば，
項の個数はr^2を超えることはあり得ないことがわかります

一方，項数r^2であれば，昇順も降順もr個までで収めることは可能です．
例えば，
r,r-1,r-2,r-3,…,1,
r+r,r+r-1,r+r-2,r+r-3,…,r+1,
2r+r,2r+r-1,2r+r-2,…,2r+1,
…,
(r-1)r+r,(r-1)r+r-1,(r-1)r+r-2,…,(r-1)r+1
は，昇順，降順ともr個までに収まっています．

以上より，必ずr個の昇順または降順の項が選べると断定するためのnの最小数は，
n=(r-1)^2+1
であり，
nとrの関係としては，
n>(r-1)^2
となります．

実際には，項数r^2に対して，昇順も降順もr個までで収める並べ方は，
r>1ならば，上にあげたものには限りません．
「1からr^2の順列でそういう性質をもつものがいくつあるか」
というのも魅力的な問題ですが，少々難しい，というか，
ある程度の知識を前提とする問題になってしまいます．
ここでは，それについての結果を1つだけあげておきます．
「上記の性質をもつ数列の個数は，平方数である．」
(例)r=2に対しては，
2,1,4,3 / 2,4,1,3 / 3,1,4,2 / 3,4,1,2
の4通り．

*グラッチェ～～～♪～～～

どうしてそんな発想ができるのかわからない...^^;...but...感動!! ☆