アットランダム≒ブリコラージュ

5954：頭のマークシート...^^

問題5954(友人問)

9個の正方形が一列に並んだ図形がある。

その9個のうちn個に赤色を塗る方法をN(n)通りあるとする。

（ただし、左右逆にして一致するものは同じとみなす）

このときN(3)、N(4)　を求めよ。

解答

・わたしの...

左右逆で一致するものは同じなので...

００００X００００

で、真ん中を含む場合とそうでない場合の半分の５個の塗り方を考えればいい...

N(3)...

Xを含む場合...

4C2=6

Xを含まない場合...

００００

の３個...4C3=4

の２個...4C2 と、残りの１個が残り４個のとき...4C2*4=24

合計=6+4+24=34 通り

N(4)...

Xを含む場合...

００００

の３個...4C3=4

の２個...4C2*4=24

Xを含まない場合...

００００

の4個...4C4=1

の３個...4C3*4=4

の２個...(4C2)^2 =36

合計=4+24+1+4+36=69

ちなみに...

N(0)=1=N(9)

N(1)=5=N(8)

N(2)...

００００X

Xを塗る場合...4

Xを塗らない場合...4C2=6

合計=10

N(2)=10=N(7)

N(3)=34=N(6)

N(4)=69=N(5)

のはずなのよね...^^

↑

すいません...^^;...またもや無茶やってましたぁ...Orz〜...

↓

・鍵コメT様のもの 〜m(_ _)m〜

赤く塗るマスをR，そうでないマスを-で表すとします．

N(3) については，「---RRR---」のような，
Xを含み，両側に分かれるものがカウントされていないようです．

また，N(4) については，「RR---RR--」と「--RR---RR」のように，
中央を含まず左右対称でないものを2回ずつ数えているようです．
(さらに，4C3*4=4とありますが，これの計算結果は16です．)

この問題は，左右逆にして一致するかどうかをまずは無視して，
n個の塗り方9Cn通りを考え，そのうち左右対称の場合が何通りあるかを調べる
のが得策だと思います．

N(3) について，
左右対称のものは，OOOOROOOOで，左のOOOOから1つ選ぶので，4C1=4(通り)．
非対称のものは，(9C3-4)/2=40(通り)となり，
N(3)=4+40=44です．

N(4) について，
左右対称のものは，OOOO-OOOOで，左のOOOOから2つ選ぶので，4C2=6(通り).
非対称のものは，(9C4-6)/2=60(通り)となり，
N(4)=6+60=66

同様に，N(1)=1+(9C1-1)/2=5，N(2)=4+(9C2-4)/2=20 のように計算されます．

*ごもっともでしたぁ☆

わたしゃ、どうしてそう考えなかったんだろ...^^;...ナナホシテントウ虫の一つ...^^

5953：sexy primes の最大連続個数...

問題5953(wiki のsexy primes の記事  http://ja.wikipedia.org/wiki/セクシー素数  より ^^ Orz〜)

『セクシー素数（sexy primes）とは、差が 6 の素数の組 (p, p + 6) である。

例えば、(5, 11) はどちらも素数であり、かつ差が 6 であるのでセクシー素数である。

セクシー素数という用語は、ラテン語では 6 が sex であることに由来する。』

さてここで問題です...

この sexy primes は、最大何個連続するものがあるでしょうか？

また、そのものを求めてください。

解答

・わたしの...

p, p+6 ともに素数なので...明らかに P は奇素数

つまり...

p=6m-1 のとき...

m=5k-0〜4

p=6(5k-0〜-4)-1

  =(5+1)(5k-0〜-4)-1

  ≡-0〜-4+1

6=5+1≡1

つまり...

p=6(5k-0〜-4)-1 のとき...

0...-1+1≡0

-1...-2+2≡0　　

-2...-3+3≡0

-3...-4+4≡0

-4...-5≡0　　　つまり...6*(5m-4)-1=30m-25≡0 ってわけね...^^

けっきょく...

p=6m-1 のとき...最大で 5 連続...しかも、一つは 5で割れる...

つまり...

5, 11, 17, 23, 29, (35)

p=6m+1 のとき...

P=6(5m-0〜-4)+1

0...1+4=0

1...0

2...-1+1=0

3...-2+2=0

4...-3+3=0

6(5m)+1

31, 37, 43, (49)

61, 67, 73, 79, (85), (91), 97

4 離れた場合は...

どうように...

最大 3個で...

3, 7, 11, (15)

19, 23, (27)

2 離れた場合は...

2*(3m-0〜-2)+1

3m-2(0〜2)+1

0...1+2=0

1...-1+2+2=0

2...-3=0

最大 3 個で一つは 3 の倍数

3, 5, 7, (9)

一般に、2k 離れた場合の最大連続個数ってのはわかるんだろか...^^;...?

赫奕たる５月のサンセット☀

先週の何曜日だったか...友人と遊んでだべっての帰路...

目の前の世界が余りにも真っ赤に染まってたものだから...

思わず写メ...

毎日一度は、この遠赤外線に世界は炙られてるんだよなぁ...

でも、たいていはこんな夕焼けは見てやしない...

美しいものはこの世にいっぱい...

その姿を外連味なく見せてくれてるってのに...

それに気づかないまま...

見逃してる...

人って...働きすぎてんじゃないかいなぁ...?

あと何回こんな美しいものを見れるんだろう...

畏友の十八番だった懐メロが頭の中に流れ始めた...

http://seikou38.i-yoblog.com/e459497.html より 引用 Orz〜

5952：Γ関数...

問題5952(某サイトのある関数に使われてたもので...^^;...確認の意味で...)

Γ関数は、自然数 n においては、以下のように表される。

 　

 n が、素数のとき、(Γ(n)+1)/n は、奇数になることを証明せよ。

　(*Γ関数に関しては...http://ja.wikipedia.org/wiki/ガンマ関数 参照 Orz〜)

　　　　　　　　　　　　　　　　↓

「ガンマ関数は、階乗の複素数への拡張としてオイラーによって考案されたもの」

解答

・わたしの...

n=p...素数のとき、Wilsonの定理より...

(p-1)!+1≡0　mod p

が成り立つ。

これは...

Γ(p)+1≡0　mod p のことだから...

(Γ(p)+1)/p　は...

p=2 のとき...

(2-1)!+1=2

2/2=1

p が奇素数のとき...

左辺=奇数

奇数=p*奇数

のはずだから...奇数なのね ^^