アットランダム≒ブリコラージュ

5967：クイズ...数列...

問題5967・・・某サイトより Orz〜

12, 6, 4, 3, (? ), 2,⋯⋯

解答

またいずれ ^^

5966：必勝法...2倍取りゲーム☆

問題5966・・・某サイトより Orz〜

1つの山にいくつかの石がある。次のルールで、２人が交互に石を取っていき、最後の石を取った方が勝ちというゲームをする。

・先手は第1手では1個以上何個取ってもよい。ただし、山全部の石を取ってはいけない。

・先手の第1手以外では、1個以上直前の相手の取った石の個数の２倍以下の石を取ってよい。

(*たとえば、最初に20個の石があったなら、先手の第1手では1個から19個まで取れる。

仮に3個取ったとすると、後手は1個から6個まで取れる。)

このゲームの必勝法を考えよ。

解答

またいずれ ^^

Fibonacci 数^3...全ての自然数は、異なるフィボナッチ数の和で表せる。

画像：http://ameblo.jp/hsf-systemtrading/entry-11201255330.html より 引用 Orz〜

画像：http://www.geocities.co.jp/Berkeley-Labo/6317/seihoukei.htm より 引用 Orz〜

「★完全正方分割正方形（＝完全正方形）
すべて異なる正方形から構成されるものです。
図２が最も位数の小さい（位数21）の完全正方分割正方形です」

これは不思議なような不思議でないような...^^

だって...平面はすべて異なる正方形で覆い尽くせることが知られているんだけど...

そこに使われるのが...フィボナッチ数列の性質なのよ...^^...

あと、初めの1x1の正方形の完全正方形分割が可能を使うんだけど...

これはすでにアップしてるはず♪ (上に再掲)

で...

「全ての自然数は、異なるいくつかのフィボナッチ数の和として表すことができる。」

の証明を見つけたので...☆

「（証明）　

ｎ＝１　のときは、明らか。

ｎ＝２　のとき、　２＝１＋１　なので、　ｎ＝２　のときも成り立つ。

(*2=2 ということでいいですね...?)
ｎ＝３　のとき、　３＝２＋１　なので、　ｎ＝３　のときも成り立つ。
ｎ＝４　のとき、　４＝３＋１ (＝２＋１＋１)　なので、　ｎ＝４　のときも成り立つ。

今、任意の自然数を Ｎ とし、Ｎ未満の自然数については、異なるいくつかのフィボナッチ数の和として表すことができるものと仮定する。

ここで、Ｎを超えない最大のフィボナッチ数を ａ_ｎ とおく。

このとき、　Ｎ＜ａ_ｎ+1　が成り立つ。

ａ_ｎ+1＝ａ_ｎ＋ａ_ｎ-1 なので、　０≦ Ｎ−ａ_ｎ＜ａ_ｎ-1

ａ_ｎ-1＜ａ_ｎ≦Ｎ　より、帰納法の仮定から、Ｎ−ａ_ｎ は異なるいくつかのフィボナッチ数の和

として表せる。

すなわち、Ｎは、異なるいくつかのフィボナッチ数の和として表せる。

以上から、

全ての自然数は、異なるいくつかのフィボナッチ数の和として表すことができる。

攻略法さんが（性質２３）に注目され、1から100までのうち個数が最多と最少のものを調査されました。

1+2+3=6←※
1+5=6

(1+1+2+3=7←※)
2+5=7

(1+1+2+5=9) 1+3+5=9 1+8=9

(1+1+3+5=10) 2+3+5=10←※ 2+8=10

1+2+3+5=11←※ 3+8=11

(1+1+2+3+5=12←※) 1+3+8=12

・・・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　」

*わかったような...^^;...?

自然数を作り上げる操作にも似てる...?

フィボナッチ螺旋は対数螺旋の一つなのね ^^

画像：http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/2607/SPR/GoldenRatio.htm より 引用 Orz〜

「並べてみると一目瞭然であるが、上の２つは対数螺旋という点では同じでも
全く違う曲線である。

対数螺旋は等角螺旋とも呼ばれ、曲線の接線と中心からの線とがなす角（上の図でｂ）は
常に一定になる性質がある。

このｂの値の違いで曲線の曲がり方が決まる。
ｂの値が小さくなると対数螺旋は大きく開いていくようになる。

極方程式では次のように記述することができる。
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/2607/SPR/image2.gif

オウムガイの螺旋では、ｂの値が螺旋を調べるソフト「Spiral」で調べるとおおよそ80°になる。
オウムガイは現在オウムガイ・オオベソオウムガイ・ヒロベソオウムガイの3種類であるが、
そのすべてでｂの値は79°〜80°の間にある。
黄金矩形に沿う螺旋ではｂの値は72.8°になる。
・・・
ベルヌイは変化しながら変わらない対数らせんに不死を見ていたようです。」
　

画像：http://blog.goo.ne.jp/traumeswirren/e/c337066ccadba376ce0ebc87a2493144 より 引用 Orz〜

「動物の世界で立体に拡大された対数らせんが見られることです。

巻貝や羊の角にも……オウムガイの断面図をもう一度見てください。

小さな部屋がだんだん大きくなっていくのがわかりますね。

体が大きくなったのに合わせて部屋を大きくしていったんでしょう。

成長し、膨張するものの例として、台風と星雲（猟犬座M51星雲、子持ち星雲として有名

なものです）の写真を掲げます。・・・」

画像：http://ameblo.jp/nonaka-yami/entry-10765611564.html より 引用 Orz〜

　　　　　　*そういわれれば...葛飾北斎の富嶽百景の図にも似てる♪

*画像：http://www.hida.kyoto-u.ac.jp/~cmo/cmomn4/Hokusai_j.htm より 引用 Orz〜

「ロマネスコ（Romanesco）はアブラナ科アブラナ属の一年生植物。

カリフラワーの一種で、特徴的な形態の野菜である。未成熟の花蕾と花梗を食用にする。

名前はイタリアのローマ方言を意味するromanescoに由来し、

花蕾群の配列がフラクタル形状を示す特徴を持つ。」

*なんだか自然の背景の原理みたいねぇ...☆

...それはともかく...アップした記事が真ん中からずれてしまう...^^;...Orz〜...Why ?

73939133... ☆

画像：http://blog.livedoor.jp/oibore_oobora/archives/51594022.html より 引用 Orz〜

「3億7千万余の素数までの、隣り合う素数の差の頻度分布から、その2から20までのみを拡大したものです。縦軸は対数目盛で、14.8とあるのはおよそ270万、14.2とあるのは150万に相当します。青い斜めの線は、点列に最も当てはまる直線です。素数の個数が二千万にもなると、間隔が、2又は4の頻度はもはや首位の座を維持できず、6に譲ってしまうことがわかります。その出現頻度も、この時点ですでに2倍近い開きがあります。あてはめ直線の上側に並ぶ点列は、6、12、１８と、隣り合う差が６の倍数であることがわかります。２と３の最小公倍数が6ですから、6の出現頻度が大きくなるであろう事は予測されるのですが、2のそれを超えるとは思いませんでした。

　素数の世界では、２，４は最小の単位にはなりえず、6に取って代わられる。と、いうわけです。言い換えると２，４は目立たず、６が目立ってくるというのです。さてここからがこじつけです。陽子、中性子などの原子核を構成する粒子を核子といいます。この核子は、クｳｵｰｸとよばれるさらなる二種類の微粒子（六種類のクオークの内の二つという意味）から構成されているというのが、現代物理学の知見です。この微粒子の電気量（電荷）が1/３又は2／３　なのです（正負は無視しておきます）。こうした中途半端な数の由来については、こうすれば実験と辻褄が合うという以外の説明はないようです。

　ところで、上記の素数差、２，４，６の比をとると１，２，３となります。安定な（出現頻度最大という意）6に対してその1/３又は2／３に相当する２，４が隠されてしまう。中途半端な電荷の謎の一側面が素数差の分布に映し出されているのではという妄想をしているわけです。序に書きますと、上図から次に台頭してくるのが10の倍数らしい（２と５の最小公倍数）ことが見て取れます。とすれば、次に見つかる物質極微小構成子の電荷は５を分母とするものではなかろうかと予言・・・」

「素な素数」...こういうの考えたことなかったなぁ...^^;...

http://love-su-gaku.com/point/ より 引用 Orz〜

「素な素数

・右側から数字を落としていったときに残る数が全て素数のものを「素な素数」という。 
・例えば「373393」。37339,3733,373,37,3が全て素数となる。 
・最大の素な素数は「73939133」。 
・素な素数は27個しか存在しない。
・10000以下の素な素数は8個。（ 53,317,599,797,2393,3793,3797,7331）　」

*23,31,37,(53),71,73 などもありそうだけど...?

だんだん(右に1,3,7,9を加えて)伸ばしていけば見つかるわけね ^^

73939133 の後は...

739391331≡0　mod 3

739391333=127x5821979

739391339=9521x77659

でも...素数かそうでないかのチェックが大変だわ...^^;

http://matome.naver.jp/odai/2136507574107579101 より 引用 Orz〜

「素数73939133の最後の3を取り除いた

7393913は素数

素数7393913の最後の3を取り除いた
739391は素数

素数739391の最後の1を取り除いた
73939は素数

素数73939の最後の9を取り除いた
7393は素数

素数7393の最後の3を取り除いた
739は素数

素数739の最後の9を取り除いた
73は素数

素数73の最後の3を取り除いた
7は素数　　　　　　　　　　　　　」

*左右両方を交互に or 同時に取り除いても素数になる素数ってのはあるのかいなぁ...^^;...?

もしあれば..."素知らぬ素数" って呼んじゃおうかなぁ〜♪ ^^