2013年07月08日の記事一覧 - 詳細表示

6154：頭の立体魔方陣...^^2...

ホテルの部屋の一口サイズボトル ^^

問題6154(鍵コメT様の提供問 Orz～)

1から8までのボールが1つずつあり，図の各頂点(A～G)に置き、各面には4頂点の数の合計を書きます。

(1) 立方体の各面に同じ数が書かれるすると，その数字はいくらでしょうか．

(2) ボールを無作為に入れるとき，立方体の各面に同じ数が書かれる確率はいくらでしょうか．

解答

・わたしの...

(1)

頂点は3回カウントされるので...

6x=3(1+2+...+8)=3*36

x=18

(2)

まず、明らかに同じ数字のとき...8 通り

対称点の１ペア...これは回転したものも異なると考えて...4*8*7=56 通り

対称点2ペア...4C2*8*7=6*56 通り

対称点3ペア=対称点1ペアなのでカウント不要...

４ペアの対称点が同じ数の組み合わせ=面で見たらたとえば(1212)...8*7=56 通り

これですべてだから...

(8+56*11)/8^8=78/8^7=39/1048576 =0.00003719...

でいいのかな...?

↑

(2)...間違ってる...^^;

分母自体も8!でしたぁ...Orz...

再考してみまっす ^^;v

っていうか...

1～8までのボールが１個ずつしかないから...

和が18 になるものを探せばいいのよね...

一つ見つけた ^^

向き合う平行線同士(たとえば、4-1 と 2-3 )は替えられる...

6ペアあるので...

6C0+6C1+6C2+6C3+6C4+6C5+6C6=2^6

1の位置は8カ所あるので...

2^6*8

これには操作から鏡像も含まれてるはずなので...?

全体=8!

けっきょく...

2^6*8/8!=2^6/7!=4/315 =0.0126984...

かなぁ...^^;

↑

間違ってる...^^;; Orz...

*再考～^^;v

18が曲者だったわけで...

1+8=9 以上にはできないから...

つまり、

辺のペアはいずれも9しかないことになり、

9=1+8=2+7=3+6=4+5

このとき、横の面も18になるには...

1+7+6+4=8+2+3+5 しかありえないので...

ペアの向きは一意に決まるんだわ☆

けっきょく...

4ペア(前後)の順列*2=4!*2^2=48*2

48*2/8!=6*8*2/8!=2/7*5!=1/420 (=0.00238095...)

かな...?

↑

拙速な答でしたぁ...^^;...Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの～m(_ _)m～

まず，反対側の頂点を含むような平行な2辺の和は等しい．
よって，そのような2つの辺に，1と8が分かれて属することはできず，
したがって，1と8は隣接する頂点にある．
1と8を結ぶ辺に平行な辺は，4辺ともその和は9とわかる．
このとき，1と8を結ぶ辺に平行な面は，間違いなく和は18となるから，
残る2面の和がともに18となればよく，1+7+6+4=8+2+3+5と分かれるしかない．

以上の考察から，いずれかの面は1+7+6+4となり，その面はどの面でもよく，
また，4つの頂点にどのように1,7,6,4を割り振ってもよい．
さらに，この4数を割り振れば，条件を満たす数字の配置が1通りに定まる．

したがって，求める確率は，
(6*4!)/(8!)=1/280.

*面白い問題をグラッチェでしたぁ☆☆☆