アットランダム≒ブリコラージュ

6471：異なる3個の単位分数の和=5/7...

問題6471(久々の友人問 ^^)

5/7=1/□+1/□+1/□

□に入る1桁または2桁の数字は？

ただし3つの□には異なる数字が入る。

解答

・わたしの...

閃いた...^^

たとえば...

7*2*3=42

5*2*3=30

30=7+23=7+2+21

これなら...

5/7=30/42=1/6+1/21+1/2

♪

一意に決まるのかどうか分からない...^^;...?

・鍵コメT様からのもの Orz〜

最小の分母が4以上とすると，3つの分数の和は，
1/4+1/5+1/6=37/60以下となって，5/7とはなり得ない．
よって，最小の分母は2または3.

最小の分母が2であるとき，残り2つの分数の和は，5/7-1/2=3/14.
1/5<3/14<1/4,2/10<3/14<2/9 なので，　←*ここの変形は巧いけど...たまたまなんだろか...^^;...?
残り2つのうち小さい方の分母は5,6,7,8,9に限り，
3/14-1/5=1/70,3/14-1/6=1/21,3/14-1/7=1/14,3/14-1/8=5/56,3/14-1/9=13/126.

最小の分母が3であるとき，残り2つの分数の和は，5/7-1/3=8/21.
1/3<8/21<1/2,2/6<8/21<2/5 で，分母3はすでに使われているので，
残り2つのうち小さい方の分母は4,5に限り，
8/21-1/4=11/84,8/21-1/5=19/105.

以上より，5/7の表し方は，
1/2+1/5+1/70
1/2+1/6+1/21
1/2+1/7+1/14
の3通り．

6470：嘘つき...曜日当て...

問題6470・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

Ａ君は月曜、火曜、水曜にはうそをつき、その他の曜日は本当のことを言います。Ｂさんは木曜、金曜、土曜にはうそをつき、その他の曜日は本当のことを言います。ある日に２人はつぎのように言いました。

Ａ君「きのうは、ぼくがうそをつく曜日だった」

Ｂさん「きのうは、私がうそをつく曜日だったわ」

さて､２人がこのように言った日は何曜日だったでしょうか。

（第９回算数オリンピック、トライアル問題より）

解答

・わたしの...

嘘つきの日だったら...昨日は嘘をつかない日となる...

Aからなら月曜、Bからなら木曜となり、

本当のことを言う日なら...

Aからは木曜、Bからは日曜となる。

つまり、どちらかが嘘をついて、どちらかが本当。

上から、木曜日なら...

Bは嘘をついていて、Aは本当のことを言っていることになるとき曜日は一致する。

・鍵コメT様のもの Orz〜

次のようにもできます．

どの曜日にも，2人とも
「今日は自分がうそをつく曜日ではない」と言うはずです．
よって，2人のコメントから，
「きのうと今日とでは，うそをつくかどうかが違っている」
ことがわかり，2人ともがそうなるのは木曜日だけですね．

*お見事な発想ね☆

6469：既約分数列...

問題6469・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

次のように、１より小さく、もうこれ以上約分できない分数がある規則に従って並んでいます。

（１）２０番目の分数を答なさい。

（２）７/１１ は初めから数えて何番目ですか。

（３）分子と分母の数の和が１０５である分数は何個出てきますか。

（開智中学　２０１１年）

解答

・わたしの...

φ(2)=2-1=1

φ(3)=3-1=2...3

φ(4)=2^2-2=2...5

φ(5)=5-1=4...9

φ(6)=φ(2)φ(3)=2...11

φ(7)=7-1=6...17

φ(8)=2^3-2^2=4...21　→1,3,5　→5/8 が20番目 ^^

φ(9)=3^2-3=6...27

φ(10)=φ(2)φ(5)=4...31

φ(11)=11-1=10...　→31+7=38番目 ^^

105=k+(105-k)

k と 105-k が互いに素...

kが105の約数ではない...

105=3*5*7

2^3-1=7個は駄目(-1は105)...105-7=98個が k,105-k なので...その半分が1以下になってるはず...

98/2=49個 ね ^^

↑

間違ってる...^^; Orz〜

どうもこいつはわたしの盲点...^^;;...

↓

・鍵コメT様のもの Orz〜

(3) 3,5,7だけの積として表される数だけが分母となれないのではなく，
分母は，105と互いに素である数に限ります．
105未満の自然数で105と互いに素であるものはφ(105)=2・4・6=48(個)あり，
分母が分子より大きいものは，これらの半分で24個ですね．

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