アットランダム≒ブリコラージュ

6561：直角三角形の面積等分線の領域...

問題6561・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33566453.html  

より Orz〜

∠AOB＝90ﾟ である △OABの 辺OA上に点P，辺OB上に点Q をとって、線分PQが△OABの面積を

２等分するとき、△OABの内部で 線分PQが通らない部分の面積をSとすれば、S/△OAB＝？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33592796.html  より Orz〜

　a＞0，b＞0 として O(0，0)，A(4a，0)，B(0，4b)，P(s，0)，Q(0，t) とすれば、

　△OAB＝8ab，△OPQ＝st/2 だから、st＝8ab 、s≦4a，t≦4b より 2b≦t≦4b になります。

　また、線分PQの式は、y＝−tx/s＋t 、y＝−t²x/(st)＋t 、y＝−t²x/(8ab)＋t 、

　xt²−8abt＋8aby＝0 になります。

　この t の方程式が 2b≦t≦4b に解をもつ(x，y) (x＞0，y＞0) が線分PQが通る部分で、

　まず、線分PQが通る部分の面積を求めます。

　f(t)＝xt²−8abt＋8aby とおけば、f(t)＝x(t−4ab/x)²−16a²b²/x＋8aby です。

　f(t)＝0 が 2b≦t≦4b に解をもつのは、次の(1)(2)の場合があります。

　(1) f(2b)･f(4b)≦0 の場合、

　 　(4b²x−16ab²＋8aby)(16b²x−32ab²＋8aby)≦0 、(2ay＋bx−4ab)(ay＋2bx−4ab)≦0 。

　 　これが、緑の部分で、２本の赤の線分の交点は△OABの重心だから面積は △OAB/3＝8ab/3 です。

　(2) f(2b)≧0，f(4b)≧0，2b≦4ab/x≦4b，−16a²b²/x＋8aby≦0 の場合、

　 　4b²x−16ab²＋8aby≧0，16b²x−32ab²＋8aby≧0，1/(2a)≦1/x≦1/a，y≦2ab/x 、

　 　2ay＋bx−4ab≧0，ay＋2bx−4ab≧0，a≦x≦2a，y≦2ab/x 、

　 　これが、オレンジ色の部分で、右図のように、面積は、

　 　∫_a^2a 2ab/x dx−a･2b/2−b･(2a/3)/2＝2ab[logｘ]_a^2a−4ab/3＝2ab(log2−2/3) です。

　よって、S/△OAB＝{8ab−8ab/3−2ab(log2−2/3)}/(8ab)＝{8−8/3−2(log2−2/3)}/8＝5/6−(log2)/4 です。


☆ 5/6−(log2)/4＝0．660046538……

☆ １次変換は面積比を保つので、直角三角形以外の三角形でも 5/6−(log2)/4 になります。

*これはまったく歯が立たず…^^;

こういうのが解けるみなさんはわたしとは格が違うとつくづく思い知らされました…☆

熟読玩味ぃ〜♪

わたしの中途半端な考え…

最初単純に…

座標で...
y=-(2b/a)*x+b=-(b/(2a))*x+b/2…x=a/3, y=b/3
y=-(2b/a)*x+b=-(b/a)*x+(√2/2)*b…x=a*(2-√2)/2, y=b(√2-1)
y=-(b/(2a))*x+b/2=-(b/a)*x+(√2/2)*b…x=a(√2-1),y=b(2-√2)/2

((a/2)*(b/3)+(b/2)*(a/3))/2=ab/6
ab/4-(((2-√2)/2)*a*((2-√2)/2)*b+((2-√2)/2)*b*((2-√2)/2)*a)/2
=ab/4-((2-√2)/2)^2*ab
=ab(1-(6-4√2))/4
=ab*(4√2-5)/4

S=(1/6+√2-5/4)=(12√2-13)/12
△OAB=1/2
S/△OAB=(12√2-13)/6

その後…

自分流に考えて…
y=1/(2x) の接線でできる部分…
[log(2x)/2](1/2~1]=log2/2
y=-2x+1, y=-x/2+1/2 の交点=(1/3,1/3)　←これは重心だったから当たり前でしたわ ^^;
図形的に…(1/2)*(1/3)*(1/2)*2=1/6
S=log2/2-1/6
△OAB=1/2
S/△OAB=log2-1/3

6560：場合の数…「マサルサマ」...

問題6560・・・算チャレ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

図１のような、縦５マス、横５マスの碁盤の目の各マスに、「マ」または「サ」または「ル」の文字が書かれています。

 いま、この碁盤の目のマスの中の字をたどって、「マサルサマ」と読む方法は何通りあるかを求めてください。

 

ただし、初めの「マ」の選び方は自由ですが、２文字目からは、前の文字の隣（上下左右のいずれか）に進まなければなりません。また、前に通ったマスを再び通っても構わないものとします。（図１、図２参照）

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

やっとわかりましたぁ…^^;