アットランダム≒ブリコラージュ

6569：最大公約数による商の和...

問題6569・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

１以上の２つの整数に対し、それぞれの数をそれらの最大公約数で割った商の和を考えます。

たとえば

１８ と １２ の最大公約数は ６ なので、

１８÷６＋１２÷６ ＝ ３＋２ ＝ ５

となります。

このことを【１８，１２】＝５　と表すことにします。

このとき次の問に答えなさい。

（１）【　ア、イ　】＝８　となるような ア、イ の組のうち、ア＋イ＝１６ となるようなものを４つ答えなさい。

（２）【 １２、ウ 】＝８ を満たす整数 ウ を２つ答えなさい。

（３）【 ３０、エ 】＝９ を満たす整数 エ をすべて答えなさい。

(麻布中学 2012年)

解答

・わたしの...

(1) g(a+b)=16, a+b=8…g=2…(a,b)=(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)

(2) g(a+b)=8…g<=4…ga=12…g=4,3,2…a=3,4,6…b=5,4,2…gb=ウ=20, 16, (12…x)

(3) g(a+b)…a+b=9…(a,b)=(1,8),(2,7),(3,6)…x,(4,5)…x,(5,4),(7,2)…x,(8,1)…x

　　けっきょく…エ=30*8=240, 15*7=105, 6*4=24

^^

↑

間違ってた…^^;…Orz〜

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1) a,bは互いに素でないとだめなので，(2,6),(4,4) は不適です．
「4つ」ということなら，(5,3),(7,1)とするしかないですね．
結局，2つの数ア，イは(2,14),(6,10),(10,6),(14,2)です．

(2)【x,y】=8のとき，最大公約数をgとすると，
x,yはgと7g，3gと5g(順不同)しかあり得ません．
12がgのとき，ウは84，12が3gのとき，ウは20です．

(3) 正しいと思いますが，(2) と同様にすると，次のようです．
【x,y】=9のとき，最大公約数をgとすると，
x,yはgと8g，2gと7g，4gと5g(順不同)の可能性があり，
30はg,2g,5gのいずれかであり，エ=240,105,24. 

*わたしゃ...途中から勝手にいい加減なことになってしまってましたぁ…^^;...

6568：四角形の面積...

問題6568・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/zukei/ より 引用 Orz〜

図のような四角形アイウエの面積は、24ｃ㎡になります。

このとき、四角形オイカエの面積を求めなさい。

（筑波大学附属中学　２０１０年）

解答

・わたしの…

こんなの解けるのかと思ってつらつら眺めてたら…^^

辺における比が…どちらも1/4 ^^

つまり…

24*(3/4)=18 cm^2

とわかるってわけでしたのねぇ ^^

6567：半円と接線...

問題6567・・・浮浪さんの「浮浪の館」http://www48.tok2.com/home/hagure/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

6566：失われたページ...

問題6566・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

平大君が古い本を読んでいると、ところどころはずれてなくなっているページがあることに気づきました。

なくなったページの数字は、最も小さいものが143で、最も大きいものは、その143の各位の数字を入れ替えた数でした。また、なくなったページの数字をすべてたすと、ちょうど2000でした。

なくなったのは何ページ分ですか。

(第９回算数オリンピック ファイナル問より)

解答

・わたしの…

最小のページが143なので、その対の144も失われてる…

よって...最大のページは、偶数のはずなので…314 しかない…^^

143+144=277

313+314=627

277+627=899

2000-899=1101

145+146=291

299+300=599

291+599=890

1101-890=211

よって…145から200台のページが３枚必要…

けっきょく...最初と最後の２枚を含めて５枚必要ね ^^

↑

致命的に間違ってましたぁ ^^; Orz〜

↓

・鍵コメT様からのコメ Orz〜

277+627は904です．
というか，1枚(2ページ)ごとに，ページ数の和は必ず奇数なので，
失われた枚数は偶数のはずですね．

*約1000なので…300*4,600*2は無理…

 500*2 or 300*2+400 だけど、後者は3枚で無理…

けっきょく、ありえそうなのは…2枚なので、合計4ページなのね ^^

but...

じっさいに…2000-277-627=x+x+1+y+y+1

1094=2(x+y)

x+y=547…ありえない？

もし、4枚なら…

1092=2(x+y+z+w)

546=x+y+z+w<143*4=572 だから無理…

よくよく確認したら…277でなく、287でしたぁ…^^;;

で…

1084=2(x+y)

542=x+y

なら…いくらでもありえましたね ^^

6565：直角三角形...斜辺の長さ...

問題6565・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33574513.html  より Orz〜

　∠B＝90ﾟ の △ABCの辺BC，CA，AB上に D，E，Fを DC＝11，CE：EA＝61：100，AF：FB＝4：1 となる

　ようにとります。∠C＝∠BAD，∠AFE＝∠BFD のとき、AC＝？　また、DF＝？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33601454.html  より Orz〜

　ABに関してDと対称な点をPとします。

　△ABCと直線PEで メネラウスの定理より、(AF/FB)(BP/PC)(CE/EA)＝1 、(4/1)(BP/PC)(61/100)＝1 、

　BP/PC＝25/61 、61BP＝25PC 、61BD＝25(2BD＋11) 、BD＝25 、BC＝25＋11＝36 です。

　また、△ADCの外接円は ABと接するので、方べきの定理により、

　BA²＝DB･BC＝25･36 、AB＝5･6＝30 、BF＝AB/5＝6 です。

　３平方の定理より、AC＝√(AB²＋BC²)＝√(30²＋36²)＝6√61 、

　DF＝√(BF²＋BD²)＝√(6²＋25²)＝√661 です。

*これが戯れの作品だなんて…^^;…

 空恐ろしかぁ !!…

わたしゃなんとかいじくって求めた気がします…"求めよさらば与えられん"...って感じ ^^;v

C:(1,0) として…D:(p,0)
EからABへの垂線の足をE'…E'F=61/161-1/5=144/805
1/5 : p = 144/805 : q…q=EE'=(144/161)p
p/5s=(100/161)*5s/q
(5s)^2=pq(161/100)=(144/100)p^2…5s=(6/5)p
5s/p=1/(5s)…(5s)^2=p
(36/25)p=1…p=25/36…11/36 が 11
AB=36,p=25,5s=AB=30
AC=√(36^2+30^2)=6√61
DF=√(25^2+6^2)=√661