アットランダム≒ブリコラージュ

6514：半円に接する小円...

問題6514・・・浮浪さんの「浮浪の館」 http://homepage1.nifty.com/Hagure/mondai.html  

より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

やっとこさできましたぁ ^^;v

6513：間違い探し...

問題6513・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

漢字のまちがいだらけの作文があります。

この作文の中から一郎は47個､二郎は39個､三郎は58個のまちがいを見つけました。

また、この３人が共通で見つけたまちがいの数は23個でした。

この作文のまちがいはすべてこの３人が見つけたとすると、この作文には最も多い場合で何個のまちがいがありますか。

（第５回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より）

解答

・わたしの...

これは簡単ですね ^^

(47-23)+(39-23)+(58-23)+23

=24+16+35+23

=98 個

わたしの解答の間違い探しといい勝負だったりしたり...^^;v

6512：3の倍数を除いた数列の2013番目の数...

問題6512・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

整数のうち、３の倍数を除いたものを小さい順に並べて、

1，２，４，５，７，８，１０，１１，１３，・・・

と、列を作りました。

さて、この列の ２０１３番目の数はいくつでしょうか？

（頴明館中学　2013年）

解答

・わたしの...

ちと考えさせられたけど...^^;

[2013/3]=671

[671/3]=223

[223/3]=74

[74/3]=24

[24/3]=8

[8/3]=2

671+223+74+24+8+2+2013=3015

のはず...^^

↑

大嘘でしたぁ...^^;...Orz...

↓

・鍵コメT様のもの Orz〜

3015は3の倍数なので，登場するはずはありません．

(1) この数列では，2項進むと3だけ大きくなるので，
2013番目は1番目よりも2012*(3/2)=3018だけ大きく，3019となりますね．

(2) 2番目と3番目の間，4番目と5番目の間，…，2012番目と2013番目の間の
合計1006個の3の倍数をスキップするので，2013+1006=3019ともできます．

上のわたしの方法に近いのは...

次の形だと思いますが，少し回り道のようです．

2013/3=671,(2013までの3の倍数の個数．スキップするのでその分値が大きくなる)
671/3=223余り2,(2014から2013+671までの3の倍数の個数．)
(223+2)/3=75,(2013+671+1から2013+671+223までの3の倍数の個数．)
[先頭が，3で割って1余る数ではないことに注意．]
75/3=25,(2013+671+223+1から2013+671+223+75までの3の倍数の個数，以下同様)
25/3=8余り1,
(8+1)/3=3,
3/3=1
より，671+223+75+25+8+3+1=1006(個)の3の倍数をとばすことになり，
結局2013番目は2013+1006=3019となります．

*もっと簡単な方法があるはずと思いつつ...嵌っちゃいました...^^;

解法(2) が一番素直な発想でしたわ ^^☆

but...盲点なんだろか...耄碌なんだろか...^^;;...気付けなかった...^^;...

・鍵コメY様のもの Orz〜

初項が 1 で 公差が 1.5 の等差数列の整数部分を考えればいいから、
[1＋(2013−1)･1.5]＝3019 です。

*たしかにそう表せるぅ〜☆...but...どうしてそう表せるのか未消化なわたしです...^^;...

6511：△の２辺の内分比...

問題6511・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33511326.html  より Orz〜

　△ABCの 辺AB上に点D，辺BC上に点Eをとり、AE，CDの交点をPとします。

　△PAD：△PCA：△PEC＝216：180：125 のとき、AD：DB＝？　また、BE：EC＝？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33539180.html  より Orz〜

[解答1]

　AD：DB＝1：x ，CE：EB＝1：y とします。

　△ABEと直線CDでメネラウスの定理より、(AD/DB)(BC/CE)(EP/PA)＝1 、

　(1/x)(y＋1)(△CEP/△CPA)＝1 、(1/x)(y＋1)(125/180)＝1 、25(y＋1)＝36x になり、

　△CBDと直線AEでメネラウスの定理より、(CE/EB)(BA/AD)(DP/PC)＝1 、

　(1/y)(x＋1)(△ADP/△APC)＝1 、(1/y)(x＋1)(216/180)＝1 、6(x＋1)＝5y になります。

　25(y＋1)＝36x，6(x＋1)＝5y より x＝55/6，y＝61/5 になり、

　AD：DB＝1：55/6＝6：55 ，BE：EC＝61/5：1＝61：5 です。


[解答2]

　△PAD＝216k，△PCA＝180k，△PEC＝125k，△BPD＝S，△BPE＝T とします。

　△BAP：△BPE＝△CAP：△CPE より、(S＋216k)：T＝180k：125k＝36：25 、25S＋5400k＝36T になり、

　△BDP：△BPC＝△ADP：△APC より、S：(T＋125k)＝216k：180k＝6：5 、5S＝6T＋750k になります。

　25S＋5400k＝36T，5S＝6T＋750k より S＝1980k，T＝1525k になります。

　AD：DB＝△PAD：△PDB＝216k：1980k＝6：55 、BE：EC＝△PBE：△PEC＝1525k：125k＝61：5 です。

*いまだメネラウスの定理使うあたわず...^^;

面積比で...

AP:PE=36:25
DP:PC=6:5
PEをもとに...
BD=11/5, BA=61/25...BD:DA=55:61-55=55:6
同様に...
PDをもとに...
BE=61/36, BC=11/6...BE:EC=61:66-61=61:5

つまり...
AD:DB=6 : 55 
BE:EC=61 : 5