アットランダム≒ブリコラージュ

6595：頭の体操…天秤...

問題6595・・・http://blog.goo.ne.jp/casalingoo/c/b12350597defd781f12ef2ba6b3e8ed7

より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

3■=●

だから…1 ですね ^^

6594：頭の体操...時計の針の重なり...

問題6594・・・http://blog.goo.ne.jp/casalingoo/c/b12350597defd781f12ef2ba6b3e8ed7

より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

既出ですね ^^

12時間に1時台〜11時台(=12時)の11回重なるので…

12/11=60+60/11=65+5/11

^^

6593:根と係数...

問題6593・・・http://blog.goo.ne.jp/casalingoo/c/b12350597defd781f12ef2ba6b3e8ed7

より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

α*β=6 なので…0ではないので…

1/3-(1/2)(1/x)+(1/x)^2=0

から…

1/α+1/β=1/2

(1/α)*(1/β)=1/3

α+β-(1/α+1/β)=3/2-1/2=1

(α-1/β)(β-1/α)=αβ-2+1/(αβ)=3-2+1/3=4/3

x^2-x+4/3=3x^2-3x+4=0

^^

・鍵コメT様のもの Orz〜

少し技巧的ですが，次の方法もあります．
α-1/β=α(1-1/(αβ))，β-1/α=β(1-1/(αβ))
であり，αβ=3なので，
2解をともに1-1/3=2/3(倍)した方程式を作ればよい．
3x/2=α,βとなればよいので，
2(3x/2)^2-3(3x/2)+6=0，すなわち，(9/2)x^2-(9/2)x+6=0,
整理して，3x^2-3x+4=0. 

*ナイスですねぇ〜☆

お気に入り♪

何か上手い方法がありそうな気はしたのですが…そっかぁ〜…^^;v

6592：頭の体操…赤白のカード...

問題6592・・・http://blog.goo.ne.jp/casalingoo/c/813f34c2e7924181e25f66780d027e4c

より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

少なくとも36枚の中に両方とも赤のカードがx枚ある。

つまり…

36-x+40-x=2x

4x=76

x=19

100-3x=100-57=43 枚が白白 ^^

6591：最小値…分数式...

問題6591・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33597168.html  より Orz〜

　x＞0，y＞0，z＞0 のとき、 14(x＋y＋z)＋81/(xyz)＋135/(x＋y＋z) の最小値は？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33623005.html  より Orz〜

[解答1] たけちゃんさんのコメントより(ほとんどの方がこの解き方でした)

　x＋y＋z が一定のとき，xyz を大きくするほど式の値は小さい．

　「 ³√(xyz)≦(x＋y＋z)/3．等号は x＝y＝z で成立 」より，x＝y＝z のときを考えればよい．

　このとき，(与式)＝42x＋81/x³＋45/x .

　f(x)＝42x＋81/x³＋45/x として， f'(x)＝42−243/x⁴−45/x²＝3(x²-3)(14x²＋27)/x⁴ より，

　f(x) は x＝√3 で最小で，最小値は 66√3 . 


[解答2] 相加･相乗平均だけで

　a＞0，b＞0 である任意の a，b に対して、相加･相乗平均の関係により、

　ax＋ay＋az＋81/(xyz)≧4･⁴√{ax･ay･az･81/(xyz)}＝12･⁴√a³ になり、

　等号は成り立つのは ax＝ay＝az＝81/(xyz) 、すなわち、x＝y＝z＝3/⁴√a のときです。

　また、b(x＋y＋z)＋135/(x＋y＋z)≧2√{b(x＋y＋z)･135/(x＋y＋z)}＝6√(15b) になり、

　等号は成り立つのは b(x＋y＋z)＝135/(x＋y＋z) 、すなわち、x＋y＋z＝3√(15/b) のときです。

　よって、3/⁴√a＝√(15/b) 、すなわち、3b＝5√a であれば、

　(a＋b)(x＋y＋z)＋81/(xyz)＋135/(x＋y＋z) の最小値は 12･⁴√a³＋6√(15b) です。

　a＋b＝14，3b＝5√a のとき、3(14−a)＝5√a 、3a＋5√a−42＝0 、(√a−3)(3√a＋14)＝0 、

　√a＝3 、a＝9，b＝5 だから、

　14(x＋y＋z)＋81/(xyz)＋135/(x＋y＋z) の最小値は 66√3 です。

　( x＝y＝z＝√3 のとき最小値になります )

*[解答2]は試みるもわからず…^^;

けっきょく…

14(x＋y＋z)＋81/(xyz)＋135/(x＋y＋z)
x^3+y^3+z^3>=3xyz…
等号は,(1/2)(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}=0 から…

x=y=z のとき…
与式の最小値は…
f(x)
=14(3x)+81/x^3+135/(3x)
=42x+81/x^3+45/x
=3(14x+27/x^3+15/x)

(14x^4+15x^2+27)/x^3 を微分…^^;
(56x^3+30x)/x^3-3(14x^4+15x^2+27)/x^4
x(56x^3+30x)-3(14x^4+15x^2+27)=14x^4-15x^2-81=0
14t^2-15t-81=(14t+27)(t-3)=0…t=x^2=3…x=√3
下に凸の４次方程式だから、x=√3 のときが最小値になるので...

けっきょく…計算させて…^^;...
f(x=√3)==3(14x+27/x^3+15/x)=66√3