アットランダム≒ブリコラージュ

6616：頭の体操...駆け比べ...

問題6616・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/gokui/ より 引用 Orz〜

太郎と花子がＡ地点とＢ地点の間を往復します。

太郎と花子の速さの比は５：４で、それぞれの速さはいつも変わりません。

２人は同時にＡを出発し、Ｃ地点で初めて出会いました。

ＡからＣまでと、ＣからＢまでの距離の比は何対何ですか？

（雙葉中学　２０１３年）

解答

・わたしの…

5:4 だから…4 : (5-4)/2 =8 : 1

^^

6615：凸117角形の四角形の数...

問題6615・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33627261.html  より Orz〜

凸117角形の 4個の頂点を結んでできる四角形のうちで、もとの 117角形と辺を共有しないものは何個？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33652825.html  より Orz〜

[解答1]

　頂点に順に 1，2，3，4，……，115，116，117 と番号をつけます。

　頂点1 を含むものは、3，4，5，……，114 から３個の数を選び、それを a，b，c (a＜b＜c) とすれば、

　1，a，b＋1，c＋2 を頂点とする四角形を作ればよいので、₁₁₂Ｃ₃ 個です。

　他の頂点を含むものについても同様で、同じ四角形を４回ずつ数えることになるから、

　₁₁₂Ｃ₃･117/4＝{112･111･110/(3･2)}･117/4＝14･111･110･39＝6666660 個です。


[解答2]

　頂点に順に 1，2，3，4，……，115，116，117 と番号をつけます。

　頂点1 を含むものは、3，4，5，……，114 から３個の数を選び、それを a，b，c (a＜b＜c) とすれば、

　1，a，b＋1，c＋2 を頂点とする四角形を作ればよいので、₁₁₂Ｃ₃ 個です。

　頂点1 を含まないものは、2，3，4，……，114 から４個の数を選び、それを a，b，c，d (a＜b＜c＜d) とすれば、

　a，b＋1，c＋2，d＋3 を頂点とする四角形を作ればよいので、₁₁₃Ｃ₄ 個です。

　112･111･110/(3･2)＋113･112･111･110/(4･3･2)＝(4＋113)･112･111･110/(4･3･2)＝6666660 個です。


[解答3]

　117個の頂点のうち４個の頂点を結んで四角形ABCDをつくるとき、A の位置は 117 通り、

　117個の頂点のうち ABの間に a 個，BCの間に b 個，CDの間に c 個，DAの間に d 個あるとすれば、

　a＋b＋c＋d＝113 を満たす自然数解は、₁₁₂Ｃ₃ 個で、

　同じ四角形を４回ずつ数えていることになるから、

　117･₁₁₂Ｃ₃/4＝117･112･111･110/(3･2･4)＝39･14･111･110＝6666660 個です。


☆ 凸ｎ角形(n≧5)では、n(n−5)(n−6)(n−7)/24 個です。

*これは、ほぼ[解答3]でしたが…最初は、地道に数えようとするもややこしくって ^^;…挫折…

で…以下のようなことを…^^

円周上に4個の点を取り、その間に１個は入ってる…
残り117-8=109個を４カ所に入れる…
4H109=112C3=112*111*110/3!=227920
これは、１個ずつずらしても対称なものにはならないので...
117*227920=26666640

でも…これでは、最初と同じものが4回できることに気付かず…^^;

ご指摘後…やっと…^^;;…

回転したとき、同じ四角は4回カウントされてるので…
26666640/4=6666660

ってなことで…Orz〜

・tsuyoshik1942さんに教えてもらったもの Orz〜

頂点4点を結んでできる数：nC4=n(n-1)(n-2)(n-3)/24←a
4点が連続している時(3辺を共有）：ｎ←b
3点が連続(2辺が共有）している時、4点目が取りうる数は(n-5)：n(n-5)←c
対辺の2辺が共有している時：n(n-5)/2←d
1辺のみを共有する時、連続しない2点が取りうる数は(n-5)C2：n*(n-5)C2←e

a-(b+c+d+e)=(n/24)*{(n-1)(n-2)(n-3)-(24+24(n-5)+12(n-2)-12(n-5)(n-6))}
=(n/24)*{(n^3-6n^2+11n-6)-(12n^2-96n+204)}
=(n/24)*(n^3-18n^2+107n-210)=n(n-5)(n-6)(n-7)/24

・たけちゃんさんの解説(コメ欄より) Orz〜

tsuyoshik1942さんの方法も有力ですね．
nC4から，辺を共有する分を除くというのは自然な考え方だと思います．
ただ，1辺のみ共有の場合は少し難しいところがあります．
「共有1辺と，その両隣を除く，n-4個の頂点から2つを選ぶ．
ただし，隣り合う2頂点(n-5通り)は除く」と考え，
各共有辺ごとに(n-4)C2-(n-5)=(n-4)(n-5)/2-(n-5)=(n-5)(n-6)/2
と考えることもできますが，あまり変わらないかもしれません．

また，b*3+(c+d)*2+eがのべでいくつの辺が共有されているかを表し，
各辺について，(n-2)C2=(n-2)(n-3)/2(通り)あるはずなので，
e=n(n-2)(n-3)/2-n*3-(3n(n-5)/2)*2=(n/2)*((n-2)(n-3)-6-6(n-5))
=(n/2)*(n^2-11n+30)=n(n-5)(n-6)/2 ともできます．

他に，凸n角形の場合の個数をa[n]としての漸化式も試みましたが，
できた漸化式が扱いづらかったので，解答にはまとめませんでした．
漸化式を作る部分だけ提示しておきます．

n角形から，辺を共有しない4角形を作る作り方をa[n]通りとし，

a[n]について，n角形の1つの頂点をAとする．
a[n]通りのうちには，
・4角形の頂点にAを含まず，Aの両隣をいずれも含まないもの
Aを除くn-1角形でも条件を満たすので，a[n-1]通り
・Aを含むもの
a[n]通りの4角形から1つを選ぶとき，ある特定の頂点を含む確率は，
どの頂点についても同じで 4/n のはずなので，(4/n)a[n]通り
・Aの両隣をともに含むもの
Aから2つ目までの頂点を除くn-5点から隣接しない2つを選ぶので，
(n-5)C2-(n-6)=(n-6)(n-7)/2(通り).

よって，
a[n]=a[n-1]+(4/n)a[n]+(n-6)(n-7)/2.
((n-4)/n)a[n]=a[n-1]+(n-6)(n-7)/2.

*…熟読玩味ぃ〜^^;v

6614：証明…同一平面上の二つの閉曲面を１本の直線で２等分...

問題6614・・・http://www.bun-eido.co.jp/t_math/sjournal/sj26/sj262430.pdf より 引用 Orz〜

2つの不定形な囲まれた交わらない図形が並んである。

1本の直線をうまく引けばこの2つの図形をどちらも2等分させることができることを示せ。 

解答

・わたしの…

それぞれの任意の点で、その閉曲面を２等分する直線が存在する。

もし、２つを同時に２等分する直線が存在しないとすると…

その直線上の任意の点で、それぞれの閉曲面を２等分できる直線があることに矛盾する…

では駄目なんだろか？…^^;

上記サイトから Orz〜

<証明>

2つの図形を内部に含まれるような円を考える。

その円周上にある定点Aを取る。その点から反時計回り周上の円弧の長さが x である点をPとする。点Pを通る直線に垂直で2つの図形をそれぞれ2等分する2つの直線を考え,点Pからこの2つの直線までの距離の差を x の関数とする。 

点Pが点Aにあるときを f ( 0 ) とすると点Pが点Aの丁度反対側にきたときは

f(x)=-f(0)となり,異符号となる。

中間値の定理よりこの間にf ( x ) =0となる x が存在する。

このときは距離の差が0であることから2つの直線は一致する。 

よって2つの図形を同時に2等分する直線が存在することが示せた。 

*熟読玩味ぃ〜^^;...

6613：円と正方形の中点...

問題6613・・・算チャレ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

図のような一辺の長さが５cmの正方形ＡＢＣＤがあり、辺ＢＣの中点をＭとします。

 

いま、点Ｂを中心とし、半径が５cmの円を描き、線分ＤＭとの交点をＰとしました。

さらに、直線ＢＰを辺ＤＣとの交点をＱとしました。

 

このとき、ＣＱの長さは何cmであるかを求めてください。

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

やっと気付けましたぁ…^^;