アットランダム≒ブリコラージュ

6620：6桁のn^2の上3桁の数字と下3桁の数字の和が2n-1...

問題6620・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33635548.html  より Orz〜

n² が６桁の自然数になり、その上３桁と下３桁の和が 2n−1 になるとき、自然数 n の値は？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33660966.html  より Orz〜

　まず、317≦n≦999 になります。

　n² の上３桁を k とすれば、 n²−999k＝2n−1 、 n²−2n＋1＝999k 、　

　(n−1)²＝3³･37k となって、 n−1 は　3²･37＝333 の倍数であることが必要です。

　従って、 n−1＝333，666 、n＝334，667 しか考えられません。

　実際、次のように、この両方が答になります。

　334²＝111556，111＋556＝667＝2･334−1 、667²＝444889，444＋889＝1333＝2･667−1 


[参考]

　33…334²＝{(10ⁿ＋2)/3}²＝(10²ⁿ＋4･10ⁿ＋4)/9＝10ⁿ(10ⁿ−1)/9＋5(10ⁿ−1)/9＋1＝11…11155…556 、
　11…111＋55…556＝(10ⁿ−1)/9＋5(10ⁿ−1)/9＋1＝2(10ⁿ−1)/3＋1＝2(10ⁿ＋2)/3−1＝2･33…334−1 、

　 　 　 　 　 　 　 4²＝16　　　　　　　　　　　　1＋6＝2･4−1
　 　 　 　 　 　 34²＝1156　　　　　　　　　　11＋56＝2･34−1
　 　 　 　 　 334²＝111556　　　　　　　　111＋556＝2･334−1
　 　 　 　 3334²＝11115556　　　　　　1111＋5556＝2･3334−1
　 　 　 33334²＝1111155556　　　　11111＋55556＝2･33334−1
　 　 333334²＝111111555556　　111111＋555556＝2･333334−1


　66…667²＝{(2･10ⁿ＋1)/3}²＝(4･10²ⁿ＋4･10ⁿ＋1)/9＝4･10ⁿ(10ⁿ−1)/9＋8(10ⁿ−1)/9＋1＝44…44488…889 、
　44…444＋88…889＝4(10ⁿ−1)/9＋8(10ⁿ−1)/9＋1＝4(10ⁿ−1)/3＋1＝2(2･10ⁿ＋1)/3−1＝2･66…667−1 、

　 　 　 　 　 　 　 7²＝49　　　　　　　　　　　　4＋9＝2･7−1
　 　 　 　 　 　 67²＝4489　　　　　　　　　　44＋89＝2･67−1
　 　 　 　 　 667²＝444889　　　　　　　　444＋889＝2･667−1
　 　 　 　 6667²＝44448889　　　　　　4444＋8889＝2･6667−1
　 　 　 66667²＝4444488889　　　　44444＋88889＝2･66667−1
　 　 666667²＝444444888889　　444444＋888889＝2･666667−1

*これは気付けました ^^v

同じく…

n^2=10^3*a+b
b=n^2-10^3*a
a+b=n^2-999*a=2n-1
(n-1)^2=999*a=3^2*111*a
a=111, 2^2*111, 3^2*111 ならいい…
n-1=333, 666, 999
n=334, 667,

一般に...
n^2=1000a+b,a+b=(2m)n-m^2 を満たす3桁の数は…
(n-m^2)^2=3^3*37*a から…
a=111,444,999
n-m=333,666
n=333+m, 666+m という性質の数を発見されたのねぇ☆

6619：空間...平面までの距離...

問題6619・・・http://blog.goo.ne.jp/casalingoo/c/784b75baf1db1c8bb64409c39a8b228b

より 引用 Orz〜

図のように空間内に3点A (3 , 0 , 0) 、B (0 , 4 , 0 )、C (0 , 0 , 5) がある．

原点Oから平面ABCに引いた垂線と平面ABCとの交点をH (x , y , z ) とすると、

x : y : z はいくらか．

解答

・わたしの…

平面で考える...

(AB)=(0,4,0)-(3,0,0)=(-3,4,0)

(AC)=(0,0,5)-(3,0,0)=(-3,0,5)

(OH)=(x,y,z)

(AB)*(OH)=-3x+4y=0

(AC)*(OH)=-3x+5z=0

3x=4y=5z

x:y:z=20:15:12

ここで、(x,y,z) を求めてみる ^^

空間での三角形の面積

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1260450742 より Orz〜

S＝(1/2)(a･c)sinθ
＝(1/2)√(|a|^2･|c|^2･(sinθ)^2)
＝(1/2)√(|a|^2･|c|^2･(1−(cosθ)^2)
＝(1/2)√(|a|^2･|c|^2−|a|^2･|c|^2･(cosθ)^2)
＝(1/2)√(|a|^2･|c|^2−(|a|･|c|･cosθ)^2)
＝(1/2)√(|a|^2･|c|^2−(a･c)^2) 

から…

S=(1/2)*√(25*34-9^2)

  =(1/2)*√769

S*OH/3=3*4*5/6

OH=30/S=60/√769

OH^2=60^2/769=t^2*(20^2+15^2+12^2)=t^2*769

t=60/769

H=(1200/769,900/769,720/769)

でいいのかな…^^

・鍵コメT様のもの Orz〜

3x=4y=5z に，平面ABCの方程式x/3+y/4+z/5=1 …[*]を加えて，
連立に解く方が少し楽かもしれません．
3x=4y=5z=kとおいて，x=k/3,y=k/4,z=k/5.
[*] に代入して，
k/9+k/16+k/25=1.
(400+225+144)k/3600=1.
k=3600/769.
後は簡単です．

*一般の平面を表す式の考え方を教えて頂きました♪

グラッチェ〜Orz〜

(1,1,1)を通るときは，x+y+z=3となります．
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)を通る平面がx+y+z=1ですね．

一般に，x,y,zの1次方程式は，xyz空間で平面を表します．
となれば，(x,y,z)=(3,0,0),(0,4,0),(0,0,5)でいずれも成り立つ
x/3+y/4+z/5=1 は，3点(3,0,0),(0,4,0),(0,0,5)を通る平面とわかります．
あるいは，(XY)でベクトルXYを表すとして，
P(x,y,z)が平面ABC上にある条件は，
(OP)=α(OA)+β(OB)+γ(OC),α+β+γ=1 と表され，
このことから，
(x,y,z)=(3α,4β,5γ)，(α,β,γ)=(x/3,y/4,z/5)となり，
これをα+β+γ=1に代入してもよいです．

*お洒落ですね♪

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