2013年09月16日の記事一覧 - 詳細表示

で...調べてたら...こんな数に遭遇☆

いつかどこかで聞いた気もする...^^

「篩法（ふるいほう）、または単に篩（ふるい）とは、数論でよく使う技法の総称である。

整数をふるった集合 (sifted set) の元の個数を数えたり、その大きさを評価したりする。篩の操作によって得られる集合の例として、ある数を超えない素数の集合が挙げられる。つまりいにしえのエラトステネスの篩、あるいは一般にルジャンドルの篩と呼ばれるものである。しかしこれらの篩を直接用いた素数分布の定量的研究は、誤差項の累積というどうしようもない困難に直面した。20世紀に入り、双子素数予想やゴールドバッハ予想などの研究の中でこれらの困境を克服する方法が見いだされ、現在ではブルンの篩をはじめ、セルバーグの篩、大きな篩といったものが編み出されている。

これらの原始的なエラトステネスの篩の発展形においては、ふるわれた（評価されるべき）集合を、他の解析しやすいより単純な集合によって近似することや、sieving function などとよばれる関数の巧みな構成、等の改良が含まれる。

篩法の現代的理論の当初より目的とされた問題の多くが未解決として残されている中、特に数論の他の方法との併用によって部分的な結果が多く得られている。その一部は以下のものである

ブルンの定理；双子素数の逆数の和が収束することを述べた定理（他方素数の逆数の和は発散する）
陳（Chen）の定理；素数 p で p+2 が素数か、あるいは二つの素数の積となるものが無限に存在することを述べた定理；この陳景潤による密接に関係した今一つの定理に、十分大きな偶数は、素数と、高々素因数が二つの数との和として表される、というものがある。これらは現在、双子素数予想及びゴールドバッハ予想に最も肉薄した結果である。
The fundamental lemma of sieve theory；（大雑把に言えば）N 個の数の集合をふるう時、http://upload.wikimedia.org/math/c/5/0/c50b9e82e318d4c163e4b1b060f7daf5.png 十分小として、http://upload.wikimedia.org/math/0/a/1/0a19304dd4693dc37d8739aff7e97a73.png の反復により篩に残った元を正確に評価できることを述べたもの。この補題は素数をふるい出す際に必要な http://upload.wikimedia.org/math/b/2/e/b2eb6d02c1267c797bd6eda9b71c900c.png の反復と比べても、かなり劣ってはいるが、それでも概素数に関する結果を導くには十分用いることができる。
The Friedlander–Iwaniec theorem; http://upload.wikimedia.org/math/1/0/5/105be3a9948bc0c843cfd71f9cee62c8.png の形に表せる素数が無限に存在することを述べた定理。

上のような問題において、篩法はほとんど唯一の攻略法として非常に強力なものとなっているが、parity problem として知られている障害により本質的に有効範囲が制限されていると考えられている。これは篩が、ある数の、素因数を偶数個持つか奇数個持つかを判別するのに重大な困難があるという内容であるが、いまだ解明されてはいない。」

http://ja.wikipedia.org/wiki/不等式より Orz～

「方程式が離散的な値を与える条件式となることが多いことに比して、不等式は通常、値の範囲を評価する条件式として働く。このような違いが効果的に現れた例として素数分布に関するブルンの篩を挙げる事ができるだろう。これは、素数の検出法として古典的に知られていたエラトステネスの篩のルジャンドルによる定式化（これは、ある整数以下の素数の "個数" を計算するためのもので、メビウス関数を用いた等式として書くことができる）を、さらに不等式で範囲の評価に書き直すこと（およびその精密化）により得られたもので、素数分布の評価に絶大な効果をもたらした。」

http://ja.wikipedia.org/wiki/ヴィーゴ・ブルンより Orz～

「ヴィーゴ・ブルン（Viggo Brun、1885年 10月13日-1978年 8月15日）はノルウェーの数学者。

オスロ大学で勉強した後1910年頃ゲッティンゲンに遊学す。1923年ノルウェー工科自然科学大学の教授となり、1946年から55年の引退までオスロ大学の教授に任ず。1966年ハンブルク大学より名誉教授位を受く。

ゴールドバッハの問題および双子素数について研究する中で、いわゆる篩の操作によって得られる集合の元の個数を評価する方法を確立し、近代的な篩法（sieve method）を創めた。彼自身の方法は後にブルンの篩と呼ばれ、数論における強力な初等的方法となっている。双子素数の分布に関しては初めて定量的な結果を証明し、それによって双子素数の逆数の和が収束することを証明した（ブルンの定理。その極限値は彼の名を冠してブルンの定数と呼ばれる）。ゴールドバッハの問題に関しては、十分大きな全ての偶数は、高々九つの素因数しか有しないような二つの数の和として表せることを証明した。」

画像：http://www.math.ntnu.no/history/ より引用 Orz～

http://ja.wikipedia.org/wiki/ブルンの定数より Orz～

「ブルン定数 (Brun's constant) は数学定数の一つで B₂ と表記されることが多い。この数は、双子素数の逆数の和の極限として定義される。すなわち、

である。これが有限和か無限和かは知られていないが、ヴィーゴ・ブルンは1919年にこの和が収束することを示した。この事実は、素数の逆数の和が発散することと好対照である。もし双子素数の逆数の和が発散するならば、双子素数が無限に存在することが容易に従うが、この値が収束することが分かった為、双子素数の個数が有限か無限かは明らかになっていない。またこの数が有理数であるか無理数であるかも分かっていない。もし無理数ならば、双子素数が無限に存在することが従う。

Thomas R.Nicely は 10 の14乗以下の双子素数までの部分和を計算し、B₂ は約 1.902160578 だと推計した。なお、その過程で彼は有名なPentium FDIV バグを発見した。今日まで最も精度の良い値は、2002年に Pascal Sebah と PatrickDemichel の2人によって 10 の16乗までの部分和が計算された

B₂ ≈1.902160583104

である。

また、同様の数が四つ子素数についても定義される。これは四つ子素数に対するブルン数と呼ばれ、しばしば B₄ と表記される。四つ子素数とは値が 4 離れた2つの双子素数のペアで、小さいほうから (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103,107, 109) となる。すなわち B₄ は次の式で与えられる。