アットランダム≒ブリコラージュ

6372：面積...道路で区切られた長方形...

問題6372・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/2013/04/post-c368.html ;

より 引用 Orz〜

図は，長方形の土地を幅３ｍの道(斜鉛部分)で５つの長方形の土地に分けたものです。あ、い、う、え、おの部分の面積をそれぞれ　あ、い、う、え、お　とします。
あ：い：う：え：お＝１：２：３：４：５となるとき、え　の部分の面積を求めなさい。

（桜蔭中学　２０１３年）

解答

・わたしの...

これは閃いた ^^

上下逆さまにしてくっつけて、道路の分を圧縮すると...

長方形になるので ^^

その長方形の面積=(600-3*3)*(250-3)=591*247

これが...2*(1+2+3+4+5)=30 ぶんなので...

「え」=591*247*(4/30)=197*247*2/5=19463.6 m^2

でいいですね ^^

6371：数列の無限積...

問題6371・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33298834.html  より Orz〜

　a₁＝12，a_n+1＝√(2＋a_n) (n＝1，2，3，……) で表される数列{ a_n }について、

　a₁･a₂･……･a_n/2ⁿ の n→∞ のときの極限値は？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33326750.html  より Orz〜

　Aを 1より大きい定数とし、x≧0 を定義域として f(x)＝A^x＋A^-x，g(x)＝A^x−A^-x とおけば、 

　{f(x/2)}²＝(A^x/2＋A^-x/2)²＝A^x＋2＋A^-x＝f(x)＋2

　f(x)g(x)＝(A^x＋A^-x)(A^x−A^-x)＝A^2x−A^-2x＝g(2x) が成り立ち、　

　f'(x)＝g(x)･logＡ＞0 だから f(x) は単調増加になります。

　ここで、f(1)＝12 とすれば、A＋A^-1＝12 、A＝6＋√35 ，A^-1＝6−√35 ，g(1)＝2√35 です。

　a_n＝f(b_n) (b_n＞0) とおけば、

　a₁＝12 より f(b₁)＝f(1) 、f(x) は単調増加だから、b₁＝1 です。

　漸化式 a_n+1＝√(2＋a_n) より f(b_n+1)＝√{2＋f(b_n)}＝f(b_n/2) 、

　f(x) は単調増加だから、b_n+1＝b_n/2 、数列{ b_n }は公比 1/2 の等比数列になり、b_n＝1/2^n-1 です。

　a₁･a₂･……･a_ng(b_n)＝f(b₁)･f(b₂)･……･f(b_n-1)f(b_n)g(b_n)＝f(b₁)･f(b₂)･……･f(b_n-1)g(b_n-1)

　 ＝……＝f(b₁)g(b₁)＝f(1)g(1)＝24√35 だから、

　a₁･a₂･……･a_n/2ⁿ＝(24√35)/{2ⁿg(b_n)}＝(12√35)b_n/g(b_n) 、

　n→∞ のとき b_n→0 だから、b_n＝x として、

　x→0 のときの (12√35)x/g(x) の極限値を求めることになります。

　g(0)＝0，g'(x)＝f(x)･logＡ だから、g(x)/x＝{g(x)−g(0)}/(x−0) → g'(0)＝f(0)･logＡ＝2･logＡ 、

　(12√35)x/g(x) → (12√35)/(2･logＡ)＝(6√35)/log(6＋√35) です。


☆ −2≦a₁＜2 のときは [413] http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/29938663.html 。

・たけちゃんさんのもの(コメ欄より) Orz〜

この問題は，
双曲線関数cosh x=(e^x+e^(-x))/2, sinh x=(e^x-e^(-x))/2
になじみがないと，けっこう考えにくい問題だと思います．
双曲線関数は，三角関数と類似の表記を持ちますが，性質としても，
cosh^2 x-sinh^2 x=1,sinh(α+β)=sinhαcoshβ+coshαsinhβ
などの三角関数と類似の性質をもっています．
(のみならず，複素関数の立場では，ほとんど同じ関数であったりします)

[解答]は，双曲線関数そのものは表に出していませんが，
f(x)=2cosh(logA),g(x)=2sinh(logA)
であり，双曲線関数の性質を利用したものとも捉えられます．

以下の解も，双曲線関数の知識なしには
「a[n]=t+1/tとおく」発想はきびしく，
また，見方によっては同じこととも言えますが，
一応提示しておきます．

a[n]>2なので，a[n]=t+1/tを満たすt(>1)がnごとに存在．
これをt[n]とおく．
a[n+1]=√(2+a[n]) を書き直して，
t[n+1]+1/t[n+1]=√(t[n]+2+1/t[n]) より，
t[n+1]+1/t[n+1]=√t[n]+1/√t[n]
となるから，t[n+1]=√t[n].
よって，t[n]=t[1]^(1/2^(n-1)).

a[1]a[2]…a[n]
=(t[1]+1/t[1])(t[2]+1/t[2])…(t[n]+1/t[n])
を展開すると，
t[n]の奇数乗(-(2^n-1)乗から2^n-1乗まで)の和になる．

等比数列の和の公式から，この和は
t[n]^(-(2^n-1))*((t[n]^2)^(2^n)-1)/(t[n]^2-1)
=t[1]^(-2+1/2^(n-1))*(t[1]^4-1)/(t[1]^(1/2^(n-2))-1)
=24√35*t[1]^(1/2^(n-1))/(t[1]^(1/2^(n-2))-1).

a[1]a[2]…a[n]/2^n
=24√35*t[1]^(1/2^(n-1))*(1/4)*(1/2^(n-2))/(t[1]^(1/2^(n-2))-1)
=6√35*t[1]^(1/2^(n-1))*(1/2^(n-2))/(e^((1/2^(n-2))log t[1])
→6√35/log t[1] (n→∞)
=6√35/log(6+√35).

*これは...無理でしたぁ...^^; 難ぃ...

わたしゃ...式変形して...

a(k)^2-4=a(k-1)-2
(a(k)+2)*(a(k)-2)/(a(k-1)-2)=1
((a(2)+2)*(a(2)-2)/(a(1)-2))*((a(3)+2)(a(3)-2)/(a(2)-2))*…
*(a(n)+2)(a(n)-2)/(a(n-1)-2))
=(a(2)+2)*(a(3)+2)*…*(a(n)+2)*(a(n)-2)/(a(1)-2)
=(a(3))^2*(a(4))^2*…*(a(n+1))^2*(a(n)-2)/10

(a(1))^2*(a(2))^2*…*(a(n))^2*(a(n-1)-2)/10*12^2*14=1

(a(1))^2*(a(2))^2*…*(a(n))^2=10*12^2*14/(a(n-1)-2)

*a(n-1)-2 の極限値がわからない限りこれ以上無理でした...Orz...

わたしの上の式が正しいとすると...

a(1))^2*(a(2))^2*…*(a(n)=√(10*12^2*14)/√(a(n-1)-2)

これの極限=24√35/√(a(n-1)-2)とすると...
lim [n→∞](√(a(n-1)-2)/4=log(6＋√35) 
lim [n→∞] a(n)=(2^2*log(6＋√35) )^2+2

になるはずだけど...
lim [n→∞] a(n)=2 のはずだからどこかおかしいのね...^^;...?...

↑

やっぱり大間違いでしたぁ...^^...Orz〜

↓

・鍵コメT様のご指摘〜m(_ _)m〜

>(a(1))^2*(a(2))^2*…*(a(n))^2=10*12^2*14/(a(n-1)-2)
これは成り立つようです．
ここで，a(n-1)-2は，正の値をとって0に近づくので，
a(1)*a(2)*…*a(n) の極限は無限大となります．
が，これは，a(n)の極限が2であることから当然の結論であり，
a(1)*a(2)*…*a(n)/2^nの極限を求めることにつながりませんね．

*あら...ギャフン...たしかに...1/2^n がすっ飛んでました...^^;;

「21」...尽くし...^^

この、10の約数でない一番小さい、3 と 7 との積でできる数にまつわる面白い話..^^

ちなみに...ダース=12 の逆さ数でもありますね...

http://ja.wikipedia.org/wiki/21 より Orz〜

「21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6　であり、サイコロの目の総和と等しい。

21歳で解禁になる事項

• アメリカでは、21歳からお酒が飲めるようになる。
• 日本では、大型自動車の運転免許、第二種運転免許を21歳から取得できる。
• 日本では、定期運送用の飛行機、ヘリコプター、飛行船の操縦免許を21歳から取得できる。
• 日本では、アメリカにサーバーを置いている関係で21歳未満のアクセスを禁じているウェブサイトがある（かつての電子掲示板の「ピンク板」など）。
• LG21は、明治から発売されているヨーグルトの商品名、および使用されている乳酸菌名。
• サントリーから発売されていたウイスキーの名前。「ハタチを過ぎたら21」というコピーのCMが放映されていた。
• ノンフィクション小説「江夏の21球」
• 対華21カ条要求
• ビールの王冠についているギザギザの溝は21本刻まれている。
• 国家元首を迎える礼砲は21発撃つきまりになっている。
• 「かい人21面相」はグリコ・森永事件の犯行声明文で犯人が名乗った名前。
• バスケットボール選手桜井良太が持つフリースロー連続成功記録が「21」。」

http://metatron.la.coocan.jp/zone-63/guide21-001.htm より 引用 Orz〜

「

同じ大きさの球体が正方形の箱の中に(10×10＝)100個収まっている時、最密パッキングで収納すれば最大で105個収めることができる。この２者の比は100：105＝20：21である。

■ニコライ・ルジン(Nikolai Luzin)は「任意の正方形を２個以上の全て異なる大きさの正方形に分割できるか？」と問題を考え、その解は存在しないと予想した。しかし解は複数あり、最小の解は21個で、１辺112の正方形を隙間なく埋めつくせる(※)。各正方形の面積の総和は12544となり、確かに112の２乗に等しい。

(※)１辺の長さがそれぞれ2,4,6,7,8,9,11,15,16,17,18,19,24,25,27,29,33,35,37,42,50の計21枚の正方形。

■６■なおルジンの問題でそれ以前の最小の正方形は一辺175のもので、それは24個の異なる正方形で埋め尽くすことができる。21は切頭６面体(trancated hexahedron)の点の数である。21は最初の６つの自然数の和である(１＋２＋３＋４＋５＋６＝21)。21は４進法におけるレプユニット<111>である。

■地球の大気中の酸素の占める割合は21％である。また地殻構成元素における珪素の占める割合は21％である。ニワトリの卵が孵化するのは卵が産まれてから21日後である。21世紀とは2001年1月1日(月)〜2100年12月31日(金)の36524日間のことである。国家元首を迎える礼砲は21発撃つきまりになっている。 

トランプのブラックジャックは、カードの数字の和を21に近付けるゲームである。タロットの大アルカナで21は「世界」である。一般には意味がないと考えられているが、ダンカン・マクドゥーガルによる研究によると、魂の重みは21グラムである。

ビールの王冠についているギザギザの溝は21本刻まれている。 栓抜きで固定するためには３点で固定すると安定するが、21は３の倍数である。19世紀末の英国の技術で「ビールの気が抜けず、外れにくく、しかも空けやすい」という条件をクリアするのは21以外なかったためである。ただし現在の特大びんは24個である。

216(＝３^３＋４^３＋５^３＝６^３)は３つの３乗数の和となる最小の３乗数である。

216は最小の積方陣の定積である(デュードニー)。

■人間の心臓の収縮時間は脈拍数にかかわらずほぼ一定(0.4秒)である。１日24時間に対するこの時間は１／216000で、１／60^３でもある。人間の基本的機能の中にも60進法が組み込まれている。

黄金比の黄金比乗は(φ^φ＝)2.178421938…である。

１辺１の正20面体の体積は５(３＋√５)／12＝2.181694991である。

」

全部他人の褌は嫌だから...少しは追加情報をば...^^;v

むかしわたしの好きだった歌「21歳の別れ」だと思ってたけど...「22歳の別れ」でしたぁ...^^;

なら、「21歳のエチュード」だと思ってたけど...「20歳のエチュード」でしたぁ...^^;

21面観音ならどうだ !!...とほ...これも...「十一面観音」でしたぁ...^^;

鉄人は28号だったし...Gold は18 or 24金だしなぁ...

21世紀梨ってのは？...これはあるようね ^^

ま、わたしが21回生だってのはたしかなんだけどね ^^

あと...「レオパレス21」ってのもあったぞ ^^

レオパレスのシステムは社長の娘さんが留学されたときの西洋風賃貸アパートを取り入れられたものなんだってご存知でした？

正20面体のサイコロの対面の和は21♪...これは載ってたんだけど...^^;...Orz〜

正多面体はすべて偶数の理由ってわかる？

考えながら寝るべ...Zzzz...チャオ...