アットランダム≒ブリコラージュ

寿司食いねぇ♪

デリが届いた♪

くるくる寿司でも十二分に美味いね☆

美味いから...ぺろりと食べちゃえる...^^

ラテン系じゃないから...速攻で食べちゃう...^^;

行列も嫌だし...せいぜい１５分待ちなら我慢ギリギリだなぁ...

これを一口３０回噛んで食べてたら...お店に嫌がられると思う...^^;

次の皿が１周するまで取れないようなシステムにしてくれたら...

腹が膨れて食べ過ぎ抑止効果絶大になりそうなんだけどなぁ ^^

ダイエット寿司「お待ち !!」ってなチェーン店ってできないだろか...?...

そんときゃ...お客さんって...メタボの人が多いんだろうか...or...スリムな人の方が多いんだろうか...?

考えてもわかんない...^^;...

少なくともわたしゃ無理だわ...Orz...

歯科の先生にわたしがお尋ねする外来時間...なはっ♪

歯垢取るにゃ...10分以上歯を磨き続ける必要があるらしい ...と教わったぞぉ〜

歯ブラシも歯磨き粉も余り関係はないらしい...

虫歯予防にゃ、フッ素入りがいいらしいけどね...

10分...!!...こりゃ...わたしゃパス...

but...一度取れたら...1週間は大丈夫らしい...ってことは...1週間に１度磨いてればいいのかも知れない...

そうなら...わたしでも可能かな...?...^^;v

6377：対角線の長さの平均...

問題6377・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33308062.html  

より Orz〜

直径が 1 の正ｎ角形の対角線全部の長さの平均を f(n) とします。 

n→∞ のときの f(n)の極限は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33336896.html  より Orz〜

[解答1]

　簡単のために π/n＝θ とします。

　１つの頂点を固定し、他の頂点を結ぶ対角線の長さの和を L とすれば、

　L＝sin2θ＋sin3θ＋sin4θ＋……＋sin(n−4)θ＋sin(n−3)θ＋sin(n−2)θ 、

　2sinαsinβ＝cos(α−β)−cos(α＋β) だから、

　2Lsinθ＝cosθ−cos3θ＋cos2θ−cos4θ＋cos3θ−cos5θ＋……
　 ＋cos(n−5)θ−cos(n−3)θ＋cos(n−4)θ−cos(n−2)θ＋cos(n−3)θ−cos(n−1)θ

　 ＝cosθ＋cos2θ−cos(n−2)θ−cos(n−1)θ＝2(cosθ＋cos2θ) 、

　L＝(cosθ＋cos2θ)/sinθ 、

　f(n)＝L/(n−3)＝(cosθ＋cos2θ)/{(n−3)sinθ}＝(cosθ＋cos2θ)/{π(sinθ)/θ−3sinθ} 、

　n→∞ のとき θ→0 ，(sinθ)/θ→1 だから、f(n)→2/π です。

☆ 2Lsin(θ/2) を求めても極限の計算ができます。


[解答2]

　１つの頂点を固定し、他の頂点を結ぶ対角線の長さの和を L とし、

　Σを k＝1 から k＝n の和とすれば、

　L＝sin(2π/n)＋sin(3π/n)＋……＋{sin(n−2)π/n}

　 ＝Σsin(kπ/n)−sin(π/n)−{sin(n−1)π/n}−sinπ＝Σsin(kπ/n)−2sin(π/n)

　f(n)＝L/(n−3)＝{1/(n−3)}Σsin(kπ/n)−{2/(n−3)}sin(π/n)

　 ＝{n/(n−3)}(1/n)Σsin(kπ/n)−{2/(n−3)}sin(π/n)

　n→∞ のとき 

　n/(n−3)→1 ，(1/n)Σsin(kπ/n)→∫₀¹ sin(πx)dx ，{2/(n−3)}sin(π/n)→0 だから、

　f(n)→∫₀¹ sin(πx)dx＝−(1/π)[cos(πx)]₀¹＝2/π です。


[解答3]

　頂点を P，P₁，P₂，……，P_n-1 とし、PP₁＝a，PP₂＝b とすれば、

　k＝2，3，……，n−2 として、四角形PP_k-1P_kP_k+1 において、トレミーの定理より、

　P_k-1P_k+1･PP_k＝P_kP_k+1･PP_k-1＋P_k-1P_k･PP_k+1 、b･PP_k＝a･PP_k-1＋a･PP_k+1 、

　k＝2，3，……，n−2 として、加えれば、

　b(PP₂＋PP₃＋……＋PP_n-2)＝a(PP₁＋PP₂＋……＋PP_n-3)＋a(PP₃＋PP₄＋……＋PP_n-1) 、

　Pと他の頂点を結ぶ対角線の長さの和を L とすれば、

　bL＝a(PP₁＋L−PP_n-2)＋a(−PP₂＋L＋PP_n-1) 、

　bL＝a(a＋L−b)＋a(−b＋L＋a) 、L＝2a(b−a)/(2a−b) になります。

　ここで、θ＝π/n とすれば、a＝sinθ，b＝sin2θ＝2sinθcosθ だから、

　L＝2sinθ(2sinθcosθ−sinθ)/(2sinθ−2sinθcosθ)＝sinθ(2cosθ−1)/(1−cosθ)

　 ＝sinθ(2cosθ−1)(1＋cosθ)/{(1−cosθ)(1＋cosθ)}＝(2cosθ−1)(1＋cosθ)/sinθ 、

　f(n)＝L/(n−3)＝(2cosθ−1)(1＋cosθ)/{(n−3)sinθ}＝(2cosθ−1)(1＋cosθ)/{(π/θ−3)sinθ} 、

　n→∞ のとき θ→0 ，(sinθ)/θ→1 だから、f(n)→2/π です。


[参考]

　大雑把に、以下のように考えると、答だけは分かります。

　２つの頂点を結ぶ線分(辺と対角線)に対して、辺の割合は n/{n(n−1)/2}＝2/(n−1) だから、

　n→∞ のとき (辺の割合)→0 、２つの頂点を結ぶ線分の長さの平均と考えても構いません。

　n→∞ のとき 正ｎ角形は円に近づくので、直径が 1 の円の弦の長さ sinθ の平均です。

　∫₀^π sinθdθ＝2 ，∫₀^π 1dθ＝π だから、

　平均は 2/π です。

参考図...^^

*これは調べての解答となりました...^^; Orz...

半径1/2 の円周上にA(0),A(1),...,A(n-1) の等分点を取ると...
A(0)A(k)=2*(1/2)sin(k*(θ/2))...θ=2π/n
=sin(kπ/n)
n→∞ のときは...
A(0)A(1)+A(0)A(2)+...+A(0)A(n-1) の和と同じはずだから...
(sin(π/n)+sin(2π/n)+...+sin((n-1)π/n))/(n-1)を求める...
lim [n→∞] {sin(π/n)+sin(2*π/n)+...+sin((n-1)*π/n)}/(n-1)
=∫[0,1] sin(πx) dx
=(1/π)*[-cosπx]
=2/π

さいしょ...[参考」のような発想で...

lim [n→∞] {sin(θ)+sin(2θ)+...+sin((n-1)θ)}
=lim [n→∞]{sin(π/n)+sin(2*π/n)+...+sin((n-1)*π/n)}
=lim (n-1)*(sin(π/2)*cos((-n+2)π/2n))
=lim (n-1)*cos(-π/2+π/n)
=lim (n-1)*(π/n)*(sin(π/n)/(π/n))
=lim (n-1)*(π/n)

けっきょく...
lim [n→∞] (n-1)*(π/n)/(n-1)=π/(n)
になってしまい...???...
どこが間違ってるのか悩んでましたぁ...^^;;

θ=2π/n にせにゃいけませんでしたわけでした...^^;...

6376：3方向から3x3に見える立方体...最小の1x1x1のサイコロの数...

問題6376・・・算チャレ！！  http://www.sansu.org  より Orz〜

図のように、上から見ても、正面から見ても、右側から見ても同じように（３×３の正方形のマス目状に）見えるという立体を考えます。この立体は、図アのような、一辺の長さが１cmの立方体を組み合わせてできています。

 

では、このような立体のうち、体積がもっとも小さいものは何cm³であるかを求めてください。

 

ただし、図アの立方体を組み合わせて立体を作るにあたっては、図イのように、１つの頂点だけで（瞬間接着剤等で）くっついていることもありえるものとします。

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

図が見えるようになりましたね ^^