アットランダム≒ブリコラージュ

6409：植木算...リングの数珠...

問題6409・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/zan/ より 引用 Orz〜

図のように、同じ大きさのリングをつないだ「くさり」があります。

（１）リングを４０個つないだとき、端から端まで何ｃｍですか？

（２）リングを何個かつないだところ、端から端までの長さが９０８ｃｍになりました。

　　 リングを何個つなぎましたか？

解答

・わたしの...

(1)

中間のリングの重なった中間の内径は...8-2=6

40個が輪になっていれば...6*40=240

1カ所切り離すと...+2

つまり...242 cm

(2)

繋がった輪にしたら...908-2=906

906/6=151 個

6408：余り...Σ[1〜2013] k^2013≡？...mod 21...

問題6408(某サイトの類似問 ^^)

次の数を21で割った余りは？

1^2013 +2^2013 +3^2013 +···+2013^2013

解答

・わたしの...

m=21±0,1,2,...,10

で表せ、m^2013=それぞれ...0^2013, (±1)^2013, (±2)^2013,..., (±10)^2013

2013/21=95...18

つまり...

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3 の18個...

残るのは...

1^2013+2^2013

2^2013

2^7=128≡2　mod 21

2013/7=287...4

2^2013≡2^287*2^4

287≡0 なので...→これは...287/7=41...41/7=5...6→2^5*2^6=2^11...11/7=1...4→2^5

2^2013≡2^4=16→2^5*2^4=2^9...9/7=1...2→2^3

けっきょく...

与式≡1+2^3=9　mod 21

のはずね...?

↑

間違ってました...^^;;...Orz...

(赤字で訂正...)

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「287≡0」が謎です．

a^2013+b^2013 は a+b で割り切れるから，→(a+b) を因子に持つからですね ^^
(3^2013+2013^2013)+(4^2013+2012^2013)+…+(2013^2013+3^2013) は 2016=21*96 の倍数であり，
その半分の，3^2013+4^2013+…+2013^2013 は 21 の倍数．
よって，1+2^2013 を 21 で割った余りを求めればよい．
2^6=64 は 21 で割って 1 余るので，
2^2013=((2^6)^335)*2^3 は 21 で割って 8 余り，
したがって，求める余りは 9.

*これがスマートね♪

6407：解の3乗が解の3次方程式...

問題6407・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33341657.html  より Orz〜

３次方程式 x³＋3x＋2＝0 の解を x＝α，β，γ とするとき、

３次方程式 x³＋px²＋qx＋8＝0 の解が x＝α³，β³，γ³ となるように、係数 p，q を定めれば、(p，q)＝？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33368733.html  より Orz〜

[解答1]

　解と係数の関係により、α＋β＋γ＝0，βγ＋γα＋αβ＝3，αβγ＝−2 になります。

　α³＋β³＋γ³＝(α＋β＋γ)³−3(α＋β＋γ)(βγ＋γα＋αβ)＋3αβγ＝−6 、

　β³γ³＋γ³α³＋α³β³

　 ＝(βγ＋γα＋αβ)³−3(βγ＋γα＋αβ)αβγ(α＋β＋γ)＋3α²β²γ²＝39 、

　α³β³γ³＝(αβγ)³＝−8 、

　よって、x＝α³，β³，γ³ を解とする３次方程式は x³＋6x²＋39x＋8＝0 、(p，q)＝(6，39) です。


[解答2]

　x＝α は x³＋3x＋2＝0 の解だから、α³＋3α＋2＝0 、α³＋2＝−3α 、

　３乗して、α⁹＋6α⁶＋12α³＋8＝−27α³ 、α⁹＋6α⁶＋36α³＋8＝0 、

　よって、x＝α³ は x³＋6x²＋39x＋8＝0 の解になります。

　同様に x＝β³，x＝γ³ もこの方程式の解になるので、(p，q)＝(6，39) です。


[参考]

　f(x)＝x³＋3x＋2 とおけば、f'(x)＝3x²＋3＞0 だから、

　α，β，γ の１つは実数，他の２つは共役な複素数(虚数)ですので、互いに異なります。

　厳密には、このことを示すほうがよいと思います。

・コメ欄のたけちゃんさんのもの Orz〜

3解がα^3,β^3,γ^3である方程式は，

(x-α^3)(x-β^3)(x-γ^3)=0.

α^3=-3α-2,β^3=-3β-2,γ^3=-3γ-2なので，

(x-α^3)(x-β^3)(x-γ^3)=(x+3α+2)(x+3β+2)(x+3γ+2)

=-27((x+2)/(-3)-α)((x+2)/(-3)-β)((x+2)/(-3)-γ)　←(x+2)/(-3) をXとみなすのね☆

=-27(((x+2)/(-3))^3+3(x+2)/(-3)+2)

=(x+2)^3+3((-3)^2)(x+2)+2((-3)^3)

=(x^3+6x^2+12x+8)+27x+54-54

=x^3+6x^2+39x+8.

*解答2になぜか気付けず...^^;

わたしゃ...けっきょく...和洋折衷だったか...^^;;

α=a, β=b, γ=c とする...^^;
a+b+c=0, ab+bc+ca=3, abc=-2
-p=a^3+b^3+c^3=3*(-(3a+b+c)+2)=6
q=a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3

a^3b^3=(3a+2)(3b+2)=9ab+3(a+b)+4
つまり...
q=9(ab+bc+ca)+6(a+b+c)+3*4
=9*3+12
=39

けっきょく...
(p,q)=(-6,39)

6406：なんだ坂こんな坂...

問題6406・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/2013/09/2010-7888.html ;

より 引用 Orz〜

図１のように、Ｐ町からＱ町までの間に２つの峠があります。Ａ君はＰ町からＱ町へ、Ｂ君はＱ町からＰ町へ向かって同時に出発して歩いていきました。２人の歩く速さは等しく、上りは毎時２ｋｍ、下りは毎時４ｋｍで一定です。２人のかかった時間とＰ町からの道のりとの関係を下の図２で示しています。このとき、次の問に答えなさい。

（１）Ｐ町からＱ町までの道のりは、何ｋｍですか。

（２）峠から峠までの道のりは、何ｋｍですか。

（芝中学　2010年）

解答

・わたしの...

上り(a+b)/2+下り(c+d)/4=5.1

(c+d)/2+(a+b)/4=4.8

(3/4)(a+b+c+d)=9.9

a+b+c+d=9.9*(4/3)=3.3*4=13.2 km

d/2+a/4=1.8

a/2+d/4=2.4

d/2+b/4=3

b/2+d/4=2.7

から...d+b を求めればいい...

2d+a=7.2 ,2a+d=9.6 ,2d+b=12 ,2b+d=10.8

a+d=5.6...d=1.6...a=4

b+d=7.6...b=6

c=13.2-11.6=1.6

けっきょく...

c+d=3.2 km

もっと簡単に出せないのか知らん...^^;...?

今日はこれにて店仕舞い...OrZzzz...

↑

間違ってましたぁ...^^;...毎度で申し訳ございましぇん...Orz...

↓

・鍵コメT様のクレバーな解答 〜m(_ _)m〜

何をa,b,c,dとするか，途中で変わってしまっているように見えます．

P-峠-谷-峠-Qの，各区間の道のりを，順に
a,d,c,b (単位はkm)とおいたとすると，つじつまが合うところが多いですが，
それなら，「d/2+b/4=3,b/2+d/4=2.7」とあるのは，
「b/2+c/4=3,c/2+b/4=2.7」が正しいと思います．
a=4,d=1.6,b=4.4,c=3.2 となって，
PQ間は13.2km，峠間は4.8kmですね．

分かるものは結局，
P-谷間の行き帰りにかかる時間，Q-谷間の行き帰りの時間
だけなので，方程式を作って解くのが一番だとは思いますが，
一応下記のようにも解くことは可能です．

(1) PQ間を往復すると，4.8+5.1=9.9(時間)かかる．
1kmの坂を往復するのに45分かかるから，
PQ間は9.9/(3/4)=13.2(km).
(2) P,Qから谷間まで，合計 2.4+3=5.4(時間)かかり，
谷間からP,Qまで，合計9.9-5.4=4.5(時間)かかる．
つまり，峠間を下りそれ以外を上るとき，
峠間を上りそれ以外を下るときよりも0.9時間余計にかかる．
1kmの坂は，上りの方が15分余計にかかるから，
(峠間)-(それ以外)=-0.9/(1/4)=-3.6(km)
であり，峠間の距離は
(13.2-3.6)/2=4.8(km).

*こういう風に解きたいものね☆

 熟読玩味ぃ〜^^v

6405：100までの数で何個選んだら差が9のものが2ペアできる？...

問題6405・・・算チャレ！！  http://www.sansu.org  より Orz〜

１〜１００までの整数の書かれたカードが１枚ずつ、計１００枚あります。
　

この中から、（　ア　）枚を取り出し、取り出したカードの中に「その差が９となる２枚」があるかどうかを調べるという作業をしたところ、どのような（　ア　）枚の選び方をしても、必ず存在することが分かりました。
　

このとき、（　ア　）枚に当てはまる整数として、考えられるもののうち最も小さいものを求めてください。

解答

上記サイトより Orz〜

・Mr.ダンディさんのもの Orz〜

ある集合を　9で割った余りで　9個のグループに類別したとき

同じグループ内の数の差は　9の倍数

1つのグループに7個の数が属していると

そのグループ内での2数の差がすべて18以上の9の倍数であるとすると

18*（7-1）＝108＞100　となるので矛盾⇒　差が9である2数が存在します。

 

6*9+1＝55　から

55個の数があるとき、9で割った余りで類別すると、必ず7個入るグループができ、そのグループ内に

差が9である2数が存在することになる。

と考えました。（鳩ノ巣原理）

・uchinyanさんのもの Orz〜

1 〜 100 を 9 で割った余りで分類します。

すると，余りが 0，2 〜 8 のグループには 11 個ずつ，余りが 1 のグループには 12 個，に分かれます。

このとき，同じグループから取った二つの差は 9 の倍数になり，異なるグループから取った二つの差は 9 の倍数にはなりません。

そこで，二つの差が 9 になるのは同じグループ内の小さい順に並べたときに隣り合う二つのときだけです。

これより，全く二つの差が 9 にならない最大個数の場合は，同じグループ内から隣り合う二つを抜き出さない場合なので，6 * 9 = 54 個。

これに一つでも加わるとどれかのグループ内に隣り合う二つができるので，必ずそこで二つの差が9 になります。

そこで，必ず二つの差が 9 になることがある最小の個数は，54 +1 = 55 個，になります。

 

この問題を解くには次で十分な気もします。

 

二つの差が 9 にならない場合を考えます。

1 に対しては 10 は含まれてはダメ，2 に対しては 11 は含まれてはダメ，．．．，と考えていくと，

1 〜 9，19 〜 27，37 〜 45，55 〜 63，73 〜 81，91 〜 99

となる場合がどの二つを選んでもその差は 9 にならず，これに抜けているどの数を加えてもそこで差が 9 になる，と分かるので，

必ず二つの差が 9 になることがある最小の個数は，9 * 6 + 1 = 55 個，になります。

 

もちろん，100 から初めて小さくしていってもよく，この場合は，二つの差が 9 にならない最大の場合は，

100 〜 92，82 〜 74，64 〜 56，46 〜 38，28 〜 20，10 〜 2

後は同じように，必ず二つの差が 9 になることがある最小の個数は，9 * 6+ 1 = 55 個，になります。

 

これら二つは，最初の解法で，9 で割った余りが 1 のグループで数をどう取るかに対応していますね。

・わたしの...

地道に...最悪の場合を考えましたぁ...^^;

1〜9 のとき...10〜18はX

19〜27...28〜36はX

37〜45...46〜54はX

55〜63...64〜72はX

73〜81...82〜90はX

91〜99...100はX

 

つまり...9*6=54個までは差が9のものは０

これに他の1個(100以外)を加えたら差が9のものが2ペアできる。

しかし、100と他の数を選んだら...3ペアとなるので...2ペアになる場合は...54+1=55個が最小ね ^^

*わたしゃ、２ペアできるんだと勘違いしてました...^^;...

・鍵コメT様のもの Orz〜

私の感覚では，この問題の内容だと，
「2ペアできる」ではなく「1ペアできる」です．


{1,10},{2,11},…,{9,18},
{19,28},{20,29},…,{27,36},
(中略),
{73,82},{74,83},…,{81,90},
{91,100},{92},{93},…,{99}
の54組での鳩の巣で，1ペアなら55枚，2ペアなら56枚で保証できますね．

*なるほど...9+8+...+1=45...45*2=90...[91,100],[92],...,[99] の 45+1+8=54 組からペアの組からはいずれか一方を選べば...1ペアもできないですね☆

たしかに、1ペアしかできないように選べますね♪

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