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図は，１辺の長さが２ｃｍの正五角形12個でつくられた立体を机において，上から見たものです｡長さ8ｃｍのひもの一方の端をこの立体の頂点Ａに固定し，このひもをすべて辺に沿わせるとき，ひものもう一方の端が届く頂点は何個考えられますか。ただし，ひもをたるませたり重ねたりすることはできません。
また、10 cm のひもだったら？
（洗足学園中学 ２０１０年のものを勝手に改変 ^^ Orz〜）
解答
・わたしの...
頂点を中心にしたトポロジカルな図が描けない...?
そこで、れいのハミルトン路で出て来た図で...^^;
5番目が届かない点は...すべての点は5で繋がっているので...0個
すべての点は...5*12/3=20個なので...
8 cm のひもが届く点の数=20-2=18個
10 cm のひもが届く点の数=20個
^^
↑
8cmのときの図は...正確でなかったですね...^^;...
また→付きの線分での図を作りたいと思います Orz〜
10cmで隣の点への経路の一つをアップしてみますね...^^;...?
↑
上の図は...20 cm の図でしたぁ...^^; Orz...
↓
→の線分を描き直しました ^^;v
1は...3個
2は...6
3は...12
4は...10
5は...17
・鍵コメT様からのもの Orz〜
「届く」とはありますが，たるみや重ねが禁止されていることから，
もう一方の端になり得る頂点を考えている問題と思えます． すると，例えば8cmのとき，4cmで届く頂点をもう一方の端には できないと思います． 正12面体は20個の頂点を持ちますが，それらは，1つの頂点からの距離で， 6種類に分類されます．1つの頂点を北極として，北から順に階層分けすると イメージしやすそうです． すなわち， 北極(タイプ0):1つ,南極(タイプ5):1つ， タイプ0に隣接(タイプ1):3つ，タイプ5に隣接(タイプ4):3つ， 北極以外でタイプ1に隣接(タイプ2):6つ，南極以外でタイプ4に隣接(タイプ3):6つ です． タイプkは，タイプ0からk個の辺を経由してはじめて届く頂点です． また，タイプ2は別のタイプ2の頂点と隣接し， タイプ3は別のタイプ3の頂点と隣接します． (それ以外は，隣接頂点は，自分と1違いのタイプの頂点とだけ隣接します．) 北極を一端として，
ひもの長さが2cmならば，他端はタイプ1(3つ)， ひもの長さが4cmならば，他端はタイプ2(6つ)， ひもの長さが6cmならば，他端はタイプ2とタイプ3(12個)， ひもの長さが8cmならば，他端はタイプ1とタイプ3とタイプ4(10個)， ひもの長さが10cmならば，他端はタイプ1以外(17個) となると思います． 10cmのときのタイプの変化としては，下記が可能で，途中までを見れば， 8cmや6cmのときの場合も判断ができます． 0-1-2-3-4-3,5 0-1-2-3-3-2,4 0-1-2-2-3-3,4 0-1-2-2-1-0,2 あるいは，ハミルトン路の図で，頂点に番号を付けてみるとよいかもしれません． *なるほど☆
これをハミルトン路のような図に描ければわかりやすいんだけど...^^;...?
樹形図のようなものってできないんだろか...^^;; |
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コメント（5）
