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極方程式 r＝10(1＋cosθ) で表される曲線を始線の周りに回転させてできる立体の表面積 S は？ 解答
上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33377653.html より Orz〜
r＝10(1＋cosθ) より r'＝−10sinθ 、
r2＋(r')2＝100(1＋2cosθ＋cos2θ＋sin2θ)＝200(1＋cosθ) 、 S＝2π∫0π r(sinθ)√{r2＋(r')2}dθ ＝2π∫0π 10(1＋cosθ)(sinθ)√{200(1＋cosθ)}dθ ＝400π∫0π (1＋cosθ)(sinθ)√{(1＋cosθ)/2}dθ ＝400π∫0π {2cos2(θ/2)}{2sin(θ/2)cos(θ/2)}cos(θ/2)dθ ＝1600π∫0π cos4(θ/2)sin(θ/2)dθ ＝1600π･(−2/5)[cos5(θ/2)]0π＝640π です。 [参考] 回転体の表面積の求め方 円錐台の側面積は台形の面積と同様、 (底面の円周の和)･(母線の長さ)/2＝π･(底面の半径の和)･(母線の長さ) です。 媒介変数 t で表された y≧0 である曲線上において、 Δt＞0 として、t ，t＋Δt のときの座標を P(x，y)，Q(x＋Δx，y＋Δy) とすれば、 線分PQを x軸の周りに回転してできる面積は、 π(y＋y＋Δy)√{(Δx)2＋(Δy)2}＝π(2y＋Δy)√{(Δx/Δt)2＋(Δy/Δt)2}･Δt 、 t＝a から t＝b まで変化するときの回転面の面積は、 ∫ab 2πy√{(dx/dt)2＋(dy/dt)2}･dt です。 極座標においては媒介変数をθとして、x＝r･cosθ，y＝r･sinθ とすればよいので、 (dx/dθ)2＋(dy/dθ)2＝{(dr/dθ)cosθ−r･sinθ}2＋{(dr/dθ)sinθ＋r･cosθ}2＝r2＋(dr/dθ)2 、 θ＝a から θ＝b まで変化するときの回転面の面積は、 2π∫ab (r･sinθ)|√{r2＋(dr/dθ)2}･dθ です。 直接、極座標で、 r･sinθ≧0 である曲線上において、 Δθ＞0 として、θ ，θ＋Δθ のときの座標を P(r，θ)，Q(r＋Δr，θ＋Δθ) とすれば、 PQ2＝r2＋(r＋Δr)2−2r(r＋Δr)cosΔθ＝r2＋(r＋Δr)2−2r(r＋Δr){1−2sin2(Δθ/2)} ＝(Δr)2＋4r(r＋Δr)sin2(Δθ/2)＝〔(Δr/Δθ)2＋r(r＋Δr){sin2(Δθ/2)}/(Δθ/2)2〕(Δθ)2Δθ 、 線分PQを x軸の周りに回転してできる面積は、 π{r･sinθ＋(r＋Δr)sin(θ＋Δθ)}√〔(Δr/Δθ)2＋r(r＋Δr){sin2(Δθ/2)}/(Δθ/2)2〕Δθ 、 θ＝a から θ＝b まで変化するときの回転面の面積は、 2π∫ab (r･sinθ)|√{(dr/dθ)2＋r2}･dθ です。 *こういうのは...わたしには不能...^^;...Orz...
もう一回やり直したいけど...時間がなさすぎ...^^;;
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コメント（2）
