アットランダム≒ブリコラージュ

6324：場合の数...長方形の３分割...

昨日のお昼すぎ...雨も上がる...

今日の夕方...

台風のあとは暑いと踏んでたのに...涼しぃ...^^;...?

問題6324・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33242821.html  より Orz〜

　図は、1cm の方眼に描かれた 2cm×6cm の長方形を、３つの領域に分割した４個の例です。

　この例のように、方眼の縦横の線の一部をなぞって長方形を３つの領域に分割する方法は何通り？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33270683.html  より Orz〜

[解答1]

　中図の上４個の図のように、中央に緑の線を入れておき、

　1cm の点線が 12本あって、そのうちの３本か４本と緑の必要部分をなぞれば、

　上図の例のように長方形を３つの領域に分割されますので、

　一応、₁₂Ｃ₃＋₁₂Ｃ₄＝220＋495＝715 通りです。

　ただし、中図の下２個の図のように、縦の線がつながり、その左右に赤の線分が配置されているとき、

　左右のに赤の線分のうち、片方は不要で、３本を選んだ場合になります。

　最下段左図のように、縦線だけを選ぶ場合、左右の縦の線分が上下いずれにあるかも考えて、

　₅Ｃ₃･4＝40 通り、

　最下段右図のように、片方だけ横線を選ぶ場合、左か右の縦の線分が上下いずれにあるかも考えて、

　2･₅Ｃ₂･2＝40 通り、

　両方の横線を選ぶ場合、5 通りだから、

　715−(40＋40＋5)＝630 通りです。


☆ 一般に、もとの長方形を 2 cm × n cm のとき、

　_2nＣ₃＋_2nＣ₄−_n-1Ｃ₃･4−2･_n-1Ｃ₂･2−(n−1)
　 ＝2n(2n−1)(2n−2)/6＋2n(2n−1)(2n−2)(2n−3)/24−4(n−1)(n−2)(n−3)/6−4(n−1)(n−2)/2−(n−1)
　 ＝4n(2n−1)(n−1)/6＋n(2n−1)(n−1)(2n−3)/6−4(n−1)(n−2)(n−3)/6−12(n−1)(n−2)/6−6(n−1)/6
　 ＝(n−1){4n(2n−1)＋n(2n−1)(2n−3)−4(n−2)(n−3)−12(n−2)−6}/6
　 ＝(n−1)(4n³−4n²＋7n−6)/6 通りです。

[解答2] sbr*d4*5さんの考え方を一般化して

　もとの長方形を 2 cm × n cm として

　複素平面上で、長方形の頂点を ±i，n±i とし、p，q を結ぶ線分を p⇔q で表すことにします。

　分割線が上図の上２個のようにつながっている場合、

　 0⇔1，n−1⇔n，1⇔1±i，2⇔2±i，3⇔3±i，……，n−1⇔n−1±i の 2n 本のうち３本と、

　 1⇔n−1 の必要部分を分割線にすればよいから、

　 _2nＣ₃＝2n(2n−1)(2n−2)/6＝2n(2n−1)(n−1)/3 通りです。

　分割する線が上図の下２個のように分かれている場合、

　 以下、 x⇔x±i は x⇔x＋i，x⇔x−i のいずれか片方を表すものとして、
　 次の(1)(2)(3)の３種類があります。

　 (1) a＜b＜c＜d＜n を満たす自然数a，b，c，dを選んで、次のような６本の分割線を決める場合、

　　a⇔b と c⇔d と a⇔a±i と b⇔b±i と c⇔c±i と d⇔d±i 

　　_n-1Ｃ₄･2･2･2･2＝2(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)/3 通り、

　 (2) a＜b＜c＜n を満たす自然数a，b，cを選んで、次のような５本の分割線を決める場合、

　　a⇔b と a⇔a±i と b⇔b±i と c⇔c＋i，c⇔c−i，c⇔n のうちの２本

　　 または

　　b⇔c と b⇔b±i と c⇔c±i と a⇔a＋i，a⇔a−i，a⇔0 のうちの２本

　　_n-1Ｃ₃･(2･2･3＋2･2･3)＝4(n−1)(n−2)(n−3) 通り、

　 (3) a＜b＜n を満たす自然数a，bを選んで、次のような４本の分割線を決める場合、

　　a⇔a＋i，a⇔a−i，a⇔0 のうちの２本 と b⇔b＋i，b⇔b−i，b⇔n のうちの２本

　　_n-1Ｃ₂･3･3＝9(n−1)(n−2)/2 通りです。

　よって、長方形を３つの領域に分割する方法の数は、

　2n(2n−1)(n−1)/3＋2(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)/3＋4(n−1)(n−2)(n−3)＋9(n−1)(n−2)/2
　 ＝(n−1){4n(2n−1)＋4(n−2)(n−3)(n−4)＋24(n−2)(n−3)＋27(n−2)}/6
　 ＝(n−1)(8n²−4n＋4n³−36n²＋104n−96＋24n²−120n＋144＋27n−54)/6
　 ＝(n−1)(4n³−4n²＋7n−6)/6

[解答3] uch*n*anさんの解答の漸化式で一般化して

　もとの長方形を 2 cm × n cm として，

　右端の縦線に横の分割線がぶつからず三つに分かれる場合を a_n 通り，
　右端の縦線に横の分割線がぶつかり三つに分かれる場合を b_n 通り，

　右端の縦線に横の分割線がぶつからず二つに分かれる場合を c_n 通り，
　右端の縦線に横の分割線がぶつかり二つに分かれる場合を d_n 通り，

　とし，a_n＋b_n を求めます。

　右端に 2 cm × 1 cm を追加して 2 cm × (n＋1) cm にすると，
　下図のように，次の漸化式が得られます。

　 a_n+1＝a_n＋2b_n＋c_n＋d_n
　 b_n+1＝b_n＋2c_n＋2d_n＋1
　 c_n+1＝c_n＋2d_n＋1
　 d_n+1＝d_n＋2

　ただし，a₁＝0，b₁＝0，c₁＝0，d₁＝1，です。

　以下、Σを k＝1 から n−1 の和を表すものとして、

　d_n＝2n−1 だから、
　c_n＝c₁＋Σ(2d_k＋1)＝Σ(4k−1)＝2(n−1)n−(n−1)＝2n²−3n＋1 、

　b_n＝b₁＋Σ(2c_k＋2d_k＋1)＝Σ(4k²−2k＋1)
　 ＝2(n−1)n(2n−1)/3−(n−1)n＋(n−1)＝(4n³−9n²＋8n−3)/3 、

　a_n＝a₁＋Σ(2b_k＋c_k＋d_k)＝Σ(8k³−12k²＋13k−6)/3
　 ＝{2(n−1)²n²−2(n−1)n(2n−1)＋13(n−1)n/2−6(n−1)}/3

　 ＝{4(n−1)²n²−4(n−1)n(2n−1)＋13(n−1)n−12(n−1)}/3

　 ＝(4n⁴−16n³＋29n²−29n＋12)/6 、

　a_n＋b_n＝(4n⁴−16n³＋29n²−29n＋12)/6＋(4n³−9n²＋8n−3)/3＝(4n⁴−8n³＋11n²−13n＋6)/6
　 ＝(n−1)(4n³−4n²＋7n−6)/6

*これは苦労しました...^^;;

けっきょく...地道に...^^;

隣接する線分の数は、縦4本 or 横4本
縦4本同じ行...5C4x2=10
3本 ...5C3x3x2=60
3本と異なる行の1本...5C3*2x2=40
縦2と異なる行の縦2...(5C2)^2=100
1...5C2x5C1x3x2=300
0…5C2x2=20
縦1と異なる行の縦1...5C1x4=20
縦1 と横1...5x2+5x2=20

これでは、抜けてた...

やどかりさんのヒント↓頂き...Orz〜

『分割線が │└┘ のようになる場合が抜けていますね。
他にも抜けがあるかも知れません。』

│└┘...12*5=60
570+60=630
となったけど...たまたまかもねぇ...^^;
重複してないのかもややこしすぎて確認できないし...Orz...
上手い方法閃かず...トポロジかルナ問題な気がする...?

*最初、2分割して、どちらかをまた２分割ってな方法でいけそうに思うも挫折...^^;...

6323：面積比...頂点と中心までの距離が1の正五角形との...

スタッフからの(３時の)お八つの差し入れ☆ Orz〜

きょうは...珍しく...デリランチで食べてたんだけどね ^^

問題6323・・・算チャレ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

図のような、図形 アと図形 イがあります。図形 イは、一辺の長さが１cmの正五角形です。

このとき、図形 アの面積は、図形 イの面積の何倍であるかを求めてください。

*訂正

上の問題ですが、ミスがありました。

図形イは、「各頂点と中心との距離が１cmの正五角形」です。

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

いままでで最速で気付けて嬉しぃ〜♪

なはっ...^^;...訂正のように勝手に勘違いしてましたぁ...^^;...