アットランダム≒ブリコラージュ

6868 ：頭の体操...四角の面積…直角三角形２個...

問題6868・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

図の四角形ＡＢＣＤは、

角ＤＡＢ＝角ＤＣＢ＝９０度、ＤＣ＝ＢＣです。

ＡＢ＋ＡＤ＝６ｃｍのとき、四角形ＡＢＣＤの面積は何ｃ㎡ですか。

（2008年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より）

解答

・わたしの…

けっきょく…

6*6/4=9 cm^2 ですね ^^

6867：十二角形の面積...

問題6867・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33858475.html  より Orz〜

　図のように、AB＝20，BC＝23 の長方形ABCDとその外接円があって、

　弧AB，弧BC，弧CD，弧DA上に２点ずつをとり、その８点と長方形ABCDの４頂点をつないで

　十二角形を、全ての内角が 150ﾟ になるようにつくるとき、この十二角形の面積 S は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33883131.html より Orz〜

[解答1]

　外接円の半径をR，中心をO，

　弧AB上の頂点を Aに近い方からE，F，弧BC上の頂点を Bに近い方からG，Hとします。

　∠AOF＝2∠ABF＝2(180ﾟ−∠AEF)＝2(180ﾟ−150ﾟ)＝60ﾟ 、

　同様に、∠EOB＝∠FOG＝∠BOH＝∠GOC＝60ﾟ になり、

　AE＝x，EF＝y とすれば、AE＝FB＝GH＝x，EF＝BG＝HC＝y ですので、

　x√3＋y＝AB ，y√3＋x＝BC 、2x＝AB√3−BC ，2y＝BC√3−AB 、

　台形AEFB＝(AB＋EF)(AE/2)/2＝(AB＋y)x/4＝(2AB＋2y)(2x)/16＝(AB＋BC√3)(AB√3−BC)/16

　 ＝(AB²√3＋2AB･BC−BC²√3)/16 、

　同様に、台形BGHC＝(BC²√3＋2AB･BC−AB²√3)/16 だから、

　台形AEFB＋台形BGHC＝AB･BC/4 、

　S＝長方形ABCD＋2(台形AEFB＋台形BGHC)＝3AB･BC/2＝3･20･23/2＝690 です。


　2x＝AB√3−BC ，2y＝BC√3−AB より、次のようにも計算できます。

　4xy＝4AB･BC−AB²√3−BC²√3＝4AB･BC−AC²√3 、

　xy＝AB･BC−OA²√3 になって、

　S＝6(△OAF＋△AEF)＝6{(1/2)･OA･OFsin60ﾟ＋(1/2)･AE･EFsin150ﾟ}＝(3/2)(OA･OF√3＋xy)

　 ＝(3/2)(OA･OF√3＋AB･BC−OA²√3)＝3AB･BC/2＝3･20･23/2＝690 です。


[解答2]

　外接円の半径をR，中心をO，

　弧AB上の頂点を Aに近い方からE，F，弧BC上の頂点を Bに近い方からG，Hとします。

　∠AOF＝2∠ABF＝2(180ﾟ−∠AEF)＝2(180ﾟ−150ﾟ)＝60ﾟ 、

　同様に、∠EOB＝∠FOG＝∠BOH＝∠GOC＝60ﾟ になり、

　∠AOE＝α，∠EOF＝β とすれば、α＋β＝60ﾟ 、

　∠AOE＝∠FOB＝∠GOH＝α，∠EOF＝∠BOG＝∠HOC＝β です。

　長方形ABCD＝2△OAB＋2△OBC＝2･(1/2)R²sin(2α＋β)＋2･(1/2)R²sin(2α＋β)

　 ＝R²{sin(2α＋β)＋sin(2α＋β)}＝2R²sin{3(α＋β)/2}cos{(α−β)/2}

　 ＝2R²sin90ﾟcos{(α−β)/2}＝2R²cos{(α−β)/2} となって、

　R²cos{(α−β)/2}＝(長方形ABCD)/2 です。　

　S＝6△OAE＋6△OEF＝6･(1/2)R²sinα＋6･(1/2)R²sinβ＝3R²(sinα＋sinβ)

　 ＝6R²sin{(α＋β)/2}cos{(α−β)/2}＝6R²sin30ﾟcos{(α−β)/2}＝3R²cos{(α−β)/2}

　 ＝3･(長方形ABCD)/2＝3･20･23/2＝690 です。


[解答3]

　左下図で、辺の長さが１つおきに等しく、

　直角三角形はすべて正三角形を対称軸で切ったものだから、

　水色の部分は青色の部分と面積が等しく、薄緑色の部分は緑色の部分と面積が等しく、

　ピンクの部分と赤色の部分の面積が等しいので、

　問題図の等脚台形４個の面積の和は 長方形ABCDの面積の 1/2 になります。

　よって、S＝3･(長方形ABCD)/2＝3･20･23/2＝690 です。

*[解答3]はピタゴラスの定理のように美しいですね☆

わたしゃ…地道にしかわからず…

何の変哲もなくひたすら計算…
a=69/4-5√3,x=10√3-23/2
b=15-23√3/4, y=23√3/2-10

十二角形の面積
=20*23
+(10+23√3/2)(15/√3-23/4)+(23/2+10√3)(69/(4√3)-5)
=690 ←もちろん計算させましたぁ…^^; Orz...

クリスピーサンド☆

これ嵌っちゃったかも…^^;v

シナモンの香り？

初味/新味♪

脳味噌は同じものでは興奮しなくなってしまうからいつまでたっても足るを知れない…

どうも箱に書かれてたけど…

『スペキュロス風味...ホリーデーシーズンに食べることの多いベルギーの伝統的なお菓子で、シナモンやジンジャーなどのスパイスの風味が楽しめるクッキーです。』…

そっか...ジンジャーの味もたしかに感じてたわ☆

少し溶けかけが…退廃的で?…爛(ただ)れてるのは わたし好み ^^

甘さがもっと控えめだったらもっと日本人向きな気もしたり…Orz...

6866：同じにならない魔方陣...

問題6866・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

たて、横、ななめの３つのマス内の数字の和がすべてことなるように０〜８を各１個ずつ入れます。黄色の４つのマスには奇数の数字を入れます。

いま，0，3，6が上図のように入っています。

このとき，残りの1，2，4，5，7，8を入れなさい。

（2012年算数オリンピック、ファイナル問題より）

3+5=1+7 だから…

試行錯誤で…^^;

6  5  8

3  2  1

0  7  4

これ以外にあるのかどうかなんて分からない/考えたくない…^^;

3-5-1-7 でなく、3-7-1-5 のときもおそらくあるに違いない…?

↑

明らかに問題文を無視した間違った答でしたぁ…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様のもの Orz〜

書かれている「答」は，6が動いてしまっていますね．

黄色の右が5だと，
黄色の上下が1と7となり，第2行，第2列の和が等しくなり不適．
黄色の右が7だと，
黄色の上下が1と5となり，第2列，右上がり対角線の和が等しくなり不適．
よって，黄色の右は1．
黄色の下が7だと，右列と下行の和が等しくなり不適なので，
黄色の下は5，黄色の上は7．
右下がりの対角線の和は2+4+8=14より，中央は2,8は不適で，4に限る．
左上2，右下8は，右列と上行が等しくなり不適より，
左上8，右下2．

以上より，
876
341
052
が唯一の解．

*納得♪

6865：頭の準備運動...正方形内の点でできる4つの三角...

問題6865・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

図の四角ＡＢＣＤは1辺１２ｃｍの正方形で、点Ｐはその内部の点です。

三角形ＡＢＰの面積：三角形ＤＡＰの面積＝３：４

三角形ＢＣＰの面積：三角形ＣＤＰの面積＝１：３

のとき，三角形ＡＢＰの面積を求めなさい。

（東大寺学園中学　2014年）

解答

・わたしの…

3t+3s=4t+s

t=2s

正方形=7t+4s=18s=12^2

△ABP=3t=6s=12^2/3=48 cm^2

^^