アットランダム≒ブリコラージュ

6879：正方形と1/4円...

問題6879・・・浮浪さんの「浮浪の館」http://homepage1.nifty.com/Hagure/mondai.html

より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

6878：循環小数の循環節の逆順...

問題6878・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33866361.html より Orz〜

　1/7＝0．142857142857…… と 69/91＝0．758241758241…… は

　循環節が、142857，758241 で逆順になります。

　では、逆順の６桁の循環節をもつ純循環小数２つが、q，20q/3 で表されるとき、q＝？

　q は 0＜q＜3/20 を満たす有理数です。

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33891198.html より Orz〜

[解答1]

　q，20q/3 が ともに６桁の循環節をもつので、999999q，999999(20q/3) がともに自然数であり、

　999999(20q/3)＝20(999999q)/3 ですので、999999q は３の倍数で、

　999999q＝3k (kは自然数)とすれば、999999(20q/3)＝20k です。

　20k の下１桁が 0 だから、逆順の 3k の上１桁は 0 であり、

　3k は５桁の数(４桁以下の場合は 0 を補って５桁にする)になり、

　3k と 2k は５桁の数として逆順になります。

　(10000A＋1000B＋100C＋10D＋E)−(10000E＋1000D＋100C＋10B＋A)＝9999(A−E)＋990(B−D) だから、

　５桁の逆順の２数の差は 9999a＋990b の形で表されます。

　k＝3k−2k＝9999a＋990b (0≦a≦9，−9≦b≦9) とおけば、

　3k＝29997a＋2970b，2k＝19998a＋1980b です。

　a＝0 のとき 3k＝2970b ，2k＝1980b の１の位は 0 なので、万の位も 0 、

　 297b，198b は３桁の数として逆順になる必要がありますが、297b≦999 より b≦3 、

　 b＝1，2，3 に対して (297b，198b)＝(297，198)，(594，396)，(891，594) で適しません。

　a＝1 のとき 3k＝29997＋2970b の１の位は 7 で、2k≦19998＋1980･9＜70000 で逆順になりません。

　a＝2 のとき 2k＝39996＋1980b の１の位は 6 で、60000≦3k≦69999 、20000≦k≦23333 、

　 20000≦19998＋990b≦23333 、2≦990b≦3335 、1≦b≦3 になり、b＝1，2，3 に対して、

　 (3k，2k)＝(59994＋2970b，39996＋1980b)＝(62964，41976)，(65934，43956)，(68904，45936) 、

　 (3k，2k)＝(65934，43956) のときだけが逆順になり、q＝3k/999999＝65934/999999＝6/91 です。

　a＝3 のとき 3k＝89991＋2970b の１の位は 1 で、2k≧39996−1980･9＞20000 で逆順になりません。

　a＝4 のとき 3k＝119988＋2970b の１の位は 8 で、3k＝119988＋2970b≦99999 だから b＜0 、

　 2k＝79992＋1980b＜80000 で逆順になりません。

　a≧5 のとき 3k≧29997･5−2970･9＞99999 で適しません。

　従って、q＝6/91 ，20q/3＝40/91 で、循環節は 065934，439560 です。


[解答2]

　q，20q/3 が ともに６桁の循環節をもつので、999999q，999999(20q/3) がともに自然数であり、

　a，b，c，d，e，f を 0以上 9以下の整数として、

　999999q＝100000a＋10000b＋1000c＋100d＋10e＋f，

　999999(20q/3)＝100000f＋10000e＋1000d＋100c＋10b＋a とおきます。

　(100000a＋10000b＋1000c＋100d＋10e＋f)：(100000f＋10000e＋1000d＋100c＋10b＋a)＝3：20

　なので、100000f＋10000e＋1000d＋100c＋10b＋a は 20の倍数、a＝0 で bは偶数です。

　(10000b＋1000c＋100d＋10e＋f)：(100000f＋10000e＋1000d＋100c＋10b)＝3：20 、

　(10000b＋1000c＋100d＋10e＋f)：(10000f＋1000e＋100d＋10c＋b)＝3：2 です。

　(10000b＋1000c＋100d＋10e＋f)/(10000f＋1000e＋100d＋10c＋b)＝3/2 ですが、

　10000b≦10000b＋1000c＋100d＋10e＋f＜10000(b＋1) ，

　10000f≦10000f＋1000e＋100d＋10c＋b＜10000(f＋1) だから、

　b/(f＋1)＜3/2＜(b＋1)/f 、2b＜3(f＋1)，3f＜2(b＋1) 、(2b−3)/3＜f＜2(b＋1)/3 、

　bは偶数であることに注意すれば、

　(b，f)＝(2，1)，(4，2)，(4，3)，(6，4)，(8，5) です。

　また、3(10000f＋1000e＋100d＋10c＋b)＝2(10000b＋1000c＋100d＋10e＋f) だから、

　3b≡2f (mod 10) となり、(b，f)＝(6，4) だけが適します。

　よって、3(40000＋1000e＋100d＋10c＋6)＝2(60000＋1000c＋100d＋10e＋4) 、

　298e＝197c−10d−1 、cは奇数で 197c−91≦298e＜197c となり、

　(c，e)＝(5，3) だけが適し、894＝985−10d−1 、d＝9 です。

　従って、q＝65934/999999＝6/91 です。

* わたしのは[解答2]に近いけど効率poor…^^;

Q=q/999999 とする...
Q=abcdef
(20/3)Q=fedcba
20(abcdef)=3(fedcba)…a=0
2(bcdef)=3(fedcb)
(20000-3)b+(2000-30)c=100d+(3000-20)e+(30000-2)f
19997*b-29998*f=10(-197*c+298*e+10*d)
右辺はたかだか20000未満 or -30000越
左辺は10の倍数なので…
19997*b-29998*f=(20000-3)*b-(30000-2)*f
(b,f)=(3,2),(6,4),(9,6)
(b,f)が…
(3,2) のとき…-9+4=-5…x
(6,4) のとき…-18+8=-10…◯
(9,6) のとき…-27+12=-15…x
けっきょく…(b,f)=(6,4)

このとき…
10(-197*c+298*e+10*d)=-10
298*e+10*d-197*c=-1
つまり…
-298*e+197*c-1=10d=0,10,20,…,90
左辺は10の倍数
cは奇数=1,3,5,7,9 かつc>e
c=1…7-1=6…e=(2),(7)…x
-298+197+1=-100…x
c=3…1-1=0…e=0,(5)
197*3-1>100…x
c=5…5-1=4…e=3,(8)
-298*3+197*5-1=90…◯…d=9
c=7…9-1=8…e=1,6
-298+197*7-1>100…x
-298*6+197*7-1=-410…x
0+197*7+1…明らかになし…
c=9…3-1=2…e=4,(9)
-298*4+197*9-1=580…x

以上から…
Q=(abcdef)=(065934)
実際は、q=Q/999999=65934/999999=6/91 
じっさいに…(6/91)*(20/3)=40/91=0.(439560) お見事ねぇ☆

6877：大学入試数学史上最大の難問...

問題6877・・・http://blog.livedoor.jp/matomeplus/archives/4956498.html より 引用 Orz〜

解答

上記サイトには…

「予備校が解答速報作成をあきらめた、 大学入試数学史上最大の難問『98年東大後期』 」

ってことで載ってます…^^;

結構なサイトで紹介されてて有名らしい？...

解けそうにゃありませんが...チャレンジは時間あるときしてみたいかなと…^^

蒐集癖のわたしとしては記念問としてアップさせて頂きまっす〜m(_ _)m〜

モルジブのお土産 ^^

碁盤の上に置いたらその長さが分かるでしょ？

long な某チョコ…

もう何十年もどこにも連れてってやれてないかなえと一緒に頂こうと思ってまっす♪

先輩と囲碁してましたぁ☆

お正月は恒例の海外旅行に行かれてた…

ま、開業医さんはそういうときにしか家族サービスなんてできないもんなぁ ^^

で、そのお土産ってのがこれ☆

何だったっけかの葉(🌴だったか…?)に巻いたチョコらしい...すでに記憶がない…^^;

so...香りがしみ込んでてそれがモルジブの香りだって…^^ Orz〜

ちなみに勝敗は分けでした…♪

6876：場合の数…カード...

問題(友人問)

1,2,……..,10の書かれたカードがそれぞれ赤、青の2枚ずつある。

これら20枚のカードから３枚を選び出すとき、書かれた数の和が

１６以下になるような選び方は何通りあるか。

解答

・わたしの…

1〜16までの間から3枚選んで、4C3=4倍したものから、

1,2,3,4,5が3枚になる5ケースを引けばいいはず…

15C3*4=15*14*13*4/6=1820

1が3枚…1-1-1-12…4C1=4

2…        2-2-2-10…4

3…        3-3-3-7…4

4…        4-4-4-4…1

5…        5-5-5-1…4

1820-4*4-1=1803通り でいいのかな？

↑

ぜんぜん違ってましたぁ…^^;…Orz…

わたしゃ何を考えてたんだろか…?…

↓

・鍵コメH様からのもの Orz〜

3枚のカードを(a,b,c)とおき、(11-a,11-b,11-c)の組合せと対応させます
するとこの6枚のカードの和は33となり、(a,b,c)の和と(11-a,11-b,11-c)の和は必ず一方が16以下でもう一方が17以上になります
カードの選び方は20C3通りなので、その半分が答えになります

20C3/2=20*19*18/(6*2)=570 通り

*巧い発想ですねぇ☆

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