アットランダム≒ブリコラージュ

7551：円に内接する四角形内にできる長方形の最大面積...

問題7551・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34522799.html 

より Orz〜

　円に内接する四角形ABCDがあり、AB＝BC＝30，CD＝18，DA＝6 です。

　いま、BCの一部を１辺とし、AB，CD上に頂点がある長方形を描くとき、

　この長方形の面積の最大値は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34544853.html より Orz〜

[解答1]

　BA，CDを延長し、交点をPとします。

　△PBC∽△PDA で、相似比は BC：DA＝30：6＝5：1 です。

　従って、PB＝5PD，PC＝5PA 、PB＝5(PC−18)，PC＝5(PB−30) 、PB＝35，PC＝25 になります。

　(30＋35＋25)/2＝45 だから、ヘロンの公式により、

　△PBC＝√{45(45−30)(45−35)(45−25)}＝√(45･15･10･20)＝15･10√(3･2)＝150√6 、

　BCを底辺とする △PBCの高さを h とすれば h＝2△PBC/BC＝2(150√6)/30＝10√6 です。

　また、DとBCの距離を d とすれば、DC：d＝PC：h 、18：d＝25：h 、d＝18h/25 です。

　長方形の縦を x，横をy とすれば、h：(h−x)＝30：y だから、hy＝30h−30x 、(30x＋hy)/2＝15h 、

　相加･相乗平均の関係により、

　(30x＋hy)/2≧√(30hxy) 、√(30hxy)≦15h 、30hxy≦225h² 、xy≦15h/2 です。

　ここで、等号が成り立つのは、30x＝hy＝15h のときだから、x＝h/2，y＝15 のときで、

　x＝h/2＜18h/25＝d で OK です。

　よって、xy の最大値は 15h/2＝75√6 です。


[解答2]

　BA，CDを延長し、交点をPとします。

　△PBC∽△PDA で、相似比は BC：DA＝30：6＝5：1 です。

　従って、PB＝5PD，PC＝5PA 、PB＝5(PC−18)，PC＝5(PB−30) 、PB＝35，PC＝25 になります。

　また、PA＝5＜PB/2，PD＝7＜PC/2 だから、下の図より、

　面積が最大の長方形は、頂点の２つを PB，PC の中点とするときで、面積は △PBC/2 になります。

　(30＋35＋25)/2＝45 だから、ヘロンの公式により、

　△PBC＝√{45(45−30)(45−35)(45−25)}＝√(45･15･10･20)＝15･10√(3･2)＝150√6 、

　面積が最大の長方形の面積は、△PBC/2＝75√6 になります。


☆ △PADの辺 PA＝7，PD＝5，AD＝6 が隠し味でした。

*[解答2]は面白いですね☆

上にできる四角形は元と相似と思ってましたが明らかに違いましたね…で…再考 ^^;v
cos角B=5/7, cos角C=1/5
長方形の底辺の長さ：x
高さh…tan角B=h/a, tan角C=h/b
tan角B=√(1-(5/7)^2)/(5/7)=√24/5
tan角C=√(1-(1/5)^2)/(1/5)=√24
h=√24*a/5=√24*b…a=5b
長方形の面積=x*h=(30-a-b)*h=(30-6b)√24*b
6√24*(5-b)b…b=5/2 のときMax
つまり…6√24*(5/2)^2=75√6

7550：3x4の表に縦横異なる数字の入れ方...

問題7550・・・算チャレ！！ http://www.sansu.org より 引用 Orz〜

図のような、縦３マス、横４マスの枠があります。この枠の中に、１〜４の数字を、次の［規則］にしたがって記入していきます。

 

［規則］どの行（横方向の並び）にも、どの列（縦方向の並び）にも、同じ数字が現れない。

 

上の図は、規則を満たす記入例の１つを表しています。

 

このとき、数字の記入の仕方は何通りあるでしょうか。

解答

ライブ問です…

4x4で考えればいいと思うも...入れないのは何故ぇ〜^^;

やっと間違いに気付けたり…^^;;

新入りにゃんこ ^^

つい最近やって来てた ^^

行ってらっしゃい、お帰んなさい、見てらっしゃい !!

ってミャ〜顏でお出迎えしてくれる♪

思わず...こちらもみゃ〜顏になってるわ ^^☆

グラッチェ !!