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毎晩かなえが水やりを欠かさないから生き生きしてるのね☆
a,b,cを正の整数とするとき、
a^a*b^b*c^c>=(abc)^(a+b+c)/3 を示せ。
解答
・友人からの解答… はじめに、正の整数 x,yに対して
(1) x^x*y^y >= x^y*y^x となることを示す。
一般性を失うことなしに、x>=y と仮定することができる。
(同様に a>=b>=c と仮定しておく)
(1)は、(x/y)^(x-y)>=1 と同値であり、これは明らかに成立する。
そこで、3つの不等式
a^a*b^b>=a^b*b^a
b^b*c^c>=b^c*c^b
c^c*a^a>=c^a*a^c
の積を作ることにより、
(a^a*b^b*c^c)^2>=a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)
となり、これより
(a^a*b^b*c^c)^3>=(a*b*c)^(a+b+c)
が成立する。
この不等式は、与えられた不等式に同値である。
等式は、a=b=c のときのみ成立する。
もっと一般的に、(1) より、正の数 a1,a2,…,an に対して、
(2) (a1^a1*a2^a2*…*an^an)^n >= (a1*a2*…*an)^(a1+a2+…+an)
*気付けなかったのが不思議なくらい単純でしたのねぇ ^^;
・鍵コメT様からのもの Orz〜
両辺を3乗したものを比較します．
両辺とも，a,b,cの合計3(a+b+c)個の積で， 右辺では，どれも同数のa+b+c個ずつ， 左辺では，大きい数ほど多数かけているので， a=b=cのとき以外は左辺の方が大きくなりますね． *たしかに!! そりゃそうでしたぁ☆
いつもながらスマートね♪
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コメント（2）
