ある４ケタの整数 Ａがあります。
この４ケタの整数 Ａの各位の数字を、大きい順に入れかえた数字をＸ、
小さい順に入れかえた数字をＹとします。すると、
Ｘ−Ｙ＝Ａ
となったそうです。
では、この４ケタの整数 Ａはいくつだったでしょうか。
解答
・わたしの…
Y=abcd つまり…0<=a<=b<=c<=d<=9
X=dcba
X-Y=(d-a)(c-b-1)(9+b-c)(10+a-d)
9-(c-b)>10-(d-a)
d-a=d なら…a=0
9-(c-b)>10-d なので…
9-(c-b)=c, 10-d=b, c-b-1=a=0
9=2c-b,10-d=b, c=b+1
9=2(b+1)-b…b=7,d=3<b…でだめ
or
9-(c-b)=c, c-b-1=b, 10-d=a=0…これはありえない
or
10-d=c, 9-(c-b)=b, c-b-1=a=0
10-d=c,9=c, c=b+1…d=1<c=9…でだめ
d-a=c なら…
面倒なので…^^;
計算させた…
d-a=c, c-b-1=a, 9+b-c=d, 10+a-d=b
のとき…
1467
じっさいに…
7641-1467=6174 ビンゴ ^^
あとのケースはすべて駄目…
d-a=a, c-b-1=d, 9+b-c=b, 10+a-d=c のとき…
1692で合わないけど…
一応検算…
9621-1269=8352…やっぱり駄目 ^^;
スマートでない…Orz…
上手い方法わからず…^^;;
[参考]
これは、カプレカ数と呼ばれるものでしたのね ^^
(鍵コメY様インフォグラッチェ〜m(_ _)m〜)
「カプレカ数（Kaprekar Number）とは、次のいずれかで定義される整数である。
- 2乗して前の部分と後ろの部分に分けて和を取ったとき、元の値に等しくなるもの。
- 桁を並べ替えて最大にしたものから最小にしたものの差を取ったとき、元の値に等しくなるもの。
定義2
整数の桁を並べ替えて、最大にしたものから最小にしたものの差を取る。この操作によって元の値に等しくなる数をカプレカ数と呼ぶ。
例えば、7641 - 1467 = 6174 であるから、6174 はこの意味でのカプレカ数であり、4桁では唯一のものである。この定義でのカプレカ数は、小さな順に
- 0, 495, 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664 …
である。なお、容易に分かるように、この定義でのカプレカ数は全て9の倍数である。
最初の数として 2005 を取り、上記の操作を繰り返すと
- 5200 - 0025 = 5175
- 7551 - 1557 = 5994
- 9954 - 4599 = 5355
- 5553 - 3555 = 1998
- 9981 - 1899 = 8082
- 8820 - 0288 = 8532
- 8532 - 2358 = 6174
- 7641 - 1467 = 6174
となり、後は 6174 が繰り返される。どのような4桁の数でも最終的に 0 または 6174 になることが確かめられる(1111の倍数のみ0になり，その他は6174になる)。カプレカ自身は4桁の数のみ考察したが、任意の桁で同じことが考えられる。ある与えられた桁数の整数は有限個であるから、この操作の繰り返しにより、必ずループが現れる。その周期が 1 である場合にそれをカプレカ数と呼ぶのである。」
*この方法で求めればよかったのかなぁ？
ループは…最大だったらいくらになるんでしょうかしらね ^^;...
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