アットランダム≒ブリコラージュ

6778：六角形とその対角線でできる△の個数...

問題6778・・・浮浪さんの「浮浪の館」http://homepage1.nifty.com/Hagure/mondai.html ;

より Orz〜

解答

上記サイトより Orz〜

・たけちゃんさんのもの Orz〜

六角形の頂点を3個含むもの:6C3=20
2個含むもの:6C4*4=60
1個含むもの:AC,AEの一部が2辺なら1個，AC,ADの一部が2辺なら2個で
(1+2*2)*6=30
1個も含まないもの:AD,BE,CFの一部が3辺の1個．

九角形なら，
3頂点で，9C3=84
2頂点で，9C4*4=504
1頂点で，ある頂点から選ぶ2つの対角線が，
左a本目，右b本目で，ab通りより，
1*1+1*2+1*3+1*4+1*5+2*1+2*2+2*3+2*4+3*1+3*2+3*3+4*1+4*2+5*1=70で，
70*9=630
0頂点で，9C6=84
合計1302

ついでにn角形に一般化すれば，
nC3+nC4*4+n*Σ[a+b≦n-3]ab+nC6
=n(n-1)(n-2)/6+n(n-1)(n-2)(n-3)/6+n・(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/24
　+n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)/720
=n(n-1)(n-2)(n^3+18n^2-43n+60)/720
(n<6でも結果は成立)
となりそうです．

・なかさんのもの Orz〜

一般解は
（ｎ＋３）Ｃ６　＋（ｎ＋１）Ｃ５　＋　ｎＣ５　となるようです。
出展：[LINK]
６角形の場合、
９Ｃ６＋７Ｃ５＋６Ｃ５＝８４＋２１＋６＝１１１　という具合です
８４，２１，６の意味に、エレガントな解のヒントがありそうです。

なお、３角形から１０角形の解は、
　１，８，３５，１１１，２８７，６４４，１３０２，２４３０

・たけちゃんさんからの追加コメ Orz〜

私の計算式で，
n*Σ[a+b≦n-3]ab
の部分は，n角形の共有される1頂点を選び，
そこからどの頂点に向かうかの2頂点および，
それと交わる対角線の両端を選ぶと考えると，
n*(n-1)C4=nC5*5
と計算できて，
私の結果は
nC3+nC4*4+nC5*5+nC6
とまとめられます．

すると，なかさんの提示された
(n+3)C6+(n+1)C5+nC5
と私の結果は同じであるようです．

・わたしゃ…

上手い方法分からず…^^;
三角…1
四角…4C3+4=8　→四角1個で+4
五角…5C3+4*5C4+5=35　→五角1個で+5
これで、れいの数列大辞典で探すと...なかさんと同じように ^^ Orz〜
六角…6C3+4*6C4+5*6C5+1=111　→六角以上では+1しか増えないようなのねぇ…?

[LINK]

わたしにゃよく分かりませんですが…^^;…Orz…

・uchinyanさんのもの Orz〜

ｎ角形の頂点を含む個数が
３個：nC3，これは明らか
２個：nC4 * 4，四角形を考え対角線の交点の回りに４個
１個：nC5 * 5，五芒星を考え角の部分に５個
０個：nC6，ｎ角形の頂点を共有しない対角線を３本
そこで，
nC3 + nC4 * 4 + nC5 * 5 + nC6

これは，C の公式を使って，
nC3 + nC4 * 4 + nC5 * 5 + nC6
= (n+1)C4 + (n+1)C5 * 3 + (n+1)C6 + nC5
= (n+2)C5 + (n+2)C6 + (n+1)C5 + nC5
= (n+3)C6 + (n+1)C5 + nC5
残念ながら，この式を直接に導くのは分かっていません。

なお，類題が以前に算チャレにあったような気がしています。

*熟読玩味ぃ〜^^;v

6777：円錐の母線の長さ...半球の３倍の面積と体積...

問題6777・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33809993.html  より Orz〜

　底面の半径が 4 の円錐があって、この円錐の表面積も体積も ある半球の 3 倍であるとき、

　この円錐の母線の長さは？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33834884.html より Orz〜

　円錐の母線の長さを x，高さを h，半球の半径を r とします。

　三平方の定理により、h²＝x²−16 ……(1) 、

　体積は (1/3)･16πh＝3･(1/2)･(4/3)πr³ 、8h＝3r³ ……(2) 、

　表面積は 16π＋4xπ＝3･{(1/2)･4πr²＋πr²} 、4(4＋x)＝9r² ……(3)

　が、成り立ちます。

　(2)を２乗して(1)を代入すれば、64(x²−16)＝9r⁶ 、

　(3)を３乗すれば、64(4＋x)³＝81･9r⁶＝81･64(x²−16) 、

　(x＋4)³＝81(x＋4)(x−4) 、(x＋4)²＝81(x−4) 、x²−73x＋340＝0 、(x−68)(x−5)＝0 、

　母線の長さ x＝68，5 になります。

　(1)(3)より、母線の長さが 68 のとき 高さは 48√2，半球の半径は 4√2 になり、

　母線の長さが 5 のとき 高さは 3 で 3：4：5 の三角形を回転したもの，半球の半径は 2 です。

＊何度も計算間違いましたが...さすがにこれは同じくでしたぁ ^^

母線の長さ=x, 半球の半径=r とする...
16 π*√(x^2-16)/3=2πr^3
8*√(x^2-16)=3r^3
16π+(8π/(2πx))*πx^2=16π+4πx^2=3*(πr^2+2πr^2)
4(4+x)=9r^2
24√(x^2-16)=9r^3
r=6√(x^2-16)/(4+x)

4(4+x)=9*(6√(x^2-16)/(4+x))^2
(4+x)=81(x^2-16)/(4+x)^2
(4+x)^2=81(x-4)
x^2-73x+340=0
(x-5)(x-68)=0

つまり…
母線の長さ=68 or 5

6776：頭の体操…面積...

問題6776・・・http://www.vimagic.co.jp/sansu/keitai/sansu/mondai/sansu_q30.html ;

より 引用 Orz〜

慶應義塾中等部　2009 類例 

長方形ＡＢＣＤがあり、
ＡＢ、ＣＤをそれぞれ直径とする円を図の ように描いたとき、
①と③の面積の和が②の面積と等しくなりました。
ＡＢ＝１６ｃｍのとき、ＡＤの長さを求めなさい。

解答

・わたしの…

二つの半円の面積=四角形ABCD ってことなので…

8^2*π=16*AD

AD=4π cm

^^

これって…

②の面積って求められるんだろうか知らん…^^;…?