アットランダム≒ブリコラージュ

6817：整数問...

問題6817(IMO short list 1995)

解答

・わたしの…

x+1=z

(z-1)^(2y)+z^(2y)=(z+1)^(2y)

(z+1)^(2y)-(z-1)^(2y)

=((z+1)^y+(z-1)^y)((z+1)^y-(z-1)^y)

=z^(2y)

yが奇数なら…

前半から…2z, 後半から 2が出てくるので…

z^2=4z は最低満たさなければいけない...

z=4 のとき…

(5^y+3)(5^y-3)=5^(2y)-9=4^(2y)

(5^y+4^y)(5^y-4^y)=9

y=1

2z*2=z^2…z=4…x=3

じっさいに…

3^2+4^2=5^2

yが偶数なら…前半から2, 後半から2z が出てくるから…

同じく…

z=4 

(5^y+4^y)(5^y-4^y)=9

これを満たす偶数のyはない...

ちといい加減か…^^;

・鍵コメN様からのもの Orz〜

あまり綺麗な解き方ではないのですが・・・。

y≧2の場合を考えます。
z=x+1と置くと、
(z-1, z, z+1)は(奇、偶、奇）の組み合わせしか等式を満たしません。
また、この場合、互いに素です。

(z-1)^y, z^y, (z+1)^yはピタゴラス数なので、m,nを互いに素とすると、
z^y = 2mn・・・(1)
(z-1)^y=m^2 - n^2・・・(2)
(z+1)^y=m^2 + n^2・・・(3) 

◆yが奇数のとき
(2)+(3)を計算すると、
2m^2≡0(mod z)

nが偶数なら、(1)より、n=2^(y-1)qと書けます。
y-1≧2の場合は、m≡0(mod 2)となってしまうので、m,nが互いに素となることに矛盾します。

一方、nが奇数なら、3以上の素数qを因数に持つと、m≡0(mod q)となってしまい、同様に矛盾。
よって、nが奇数の場合は1となります。
しかし、(3)-(2)を計算すると、
(x+2)^y - x^y = 2
ですが、左辺>2^yなので、y≧2の場合に上を満たす整数はありません。

同様にして、(3)-(2)を計算することにより、yが偶数の場合も与えられた式を満たすxが存在しないことを示せます。


以上より、式を満たすのはy=1のみ。y=1を代入すると、x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2という2次方程式になるので、解いてx=3

（＊フェルマーの最終定理を使えば、2y=2の場合しかxが存在しないことがすぐ分かります）

*最後の行はたしかに!!でした  ^^;v

wikiより…

• Andrew Wiles (May 1995). “Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem（モジュラー楕円曲線とフェルマーの最終定理）”. Annals of Mathematics141 (3): 443-551.

から…IMOの問題は...フェルマーの最終定理が証明された同じ年に作られた問題でしたのね...僅差で問題が生まれたのに...即流産という憂き目にあったというメモリアルなる問題ってことでもありますね ^^;…Orz〜

6816：頭の体操...長方形の正方形分割...

問題6816・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

図は、正方形を９個組み合わせて、１つの大きな長方形ABCDを作ったもので、辺BCは辺ABより10cm長くなっています。

（ア）「あ」の正方形の１辺の長さを求めなさい。

（イ）「い」の正方形の１辺の長さを求めなさい。

(２０１４年の浦和明の星女子中学の図形問題)

解答

・わたしの…

い＋3(2い)+2い+あ-10=2い+あ+2い+2あ

　9い+あ-10=4い+2あ

　5い-あ=10

2い+2あ+2い+3あ=い＋3(2い)+2い+あ

　4い+5あ=9い+あ

　4あ=5い

3あ=10

あ=10/3

い=40/(3*5)=8/3

でいいのかなぁ…^^;

面倒な問題ね…Orz...

6815：頭の体操...求角...

問題6815・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/1mon1pun/ より 引用 Orz〜

下図のア〜カまでの角度の和は何度ですか？

（頌栄女子学院中学　２０１０年）

解答

・わたしの…

180-x+180-y+180-z=180*3-(x+y+z)=180*2=360°

or

それぞれの和は...真ん中の△の３個の外角なので…

3この外角の和は円１周分だから…360° ^^

6814：整数問題...

問題6814(IMO short list 1993)

n^m = 4m^n を満たすような正整数 m, n の組を全て求めよ.    

解答

・わたしの…

n=2^a

2^(a*m)=4m^(2^a)

2^(am-2)=m^(2^a)

m=2^b

2^(a*2^b-2)=2^(b*2^a)

a*2^b-2=b*2^a

a*2^b-b*2^a=2

2^a(a*2^(b-a)-b)=2

a=1, b=3

n=2, m=2^3=8

でいいのかなぁ…?

・友人からのもの…

n,m>=2とする

対数をとると（底4）log(n)/n-log(m)/m=1/mn>0

y=x、y=log(x)　をみるとlog(x)/xは単調減少だからn<m

与式からn,mの素因数はおなじである

nは偶数だから2,4,6,8,10,12,……である

n=12　とすればm=13と1増やすだけで左辺>右辺となり

ますます開くことになるから、与式が成り立つのはn=2,4,6,8,10のいずれか

実際計算して(n,m)=(2,8)　のみで

(n,m)=(4,1),(2,8)

*そっか…a=0 の場合が抜けてた…^^;...

6813：大小...

問題6813(IMO short list 1993)

n を正整数とするとき,

1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 1)  ≦ n^n

が成り立つことを証明せよ. 

解答

・わたしの…

(2n-1)!/(2^(n-1)*(n-1)!)

=n*(n+1)*(n+2)*…*(n+n-1)/2^(n-1)

=(n/2)*((n+1)/2)*((n+2)/2)*…*((2n-1)/2)

<=n^n

等号はn=1 のときのみ…でいいかな…^^

↑

間違ってる…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「n*(n+1)*(n+2)*…*(n+n-1)/2^(n-1)
=(n/2)*((n+1)/2)*((n+2)/2)*…*((2n-1)/2)」は正しくありません．
n,n+1,…,n+n-1は全部でn個あるので，
下の行は，上の半分になっています．
下の行に「*2」を付けて，(n/2)*2をnと見れば，証明になっていますね．

一方，

1,3,5,…,2n-1の相加平均と相乗平均を考えれば，ただちに解決です．

(*下のコメ欄参照 願います…Orz〜)

・鍵コメN様からのもの Orz〜

x>0のときに、1+mx≦(1+x)^mを用いると、x=1/mとおいて、

2≦(1+1/m)^m=(m+1)^m/m^mとなります。

両辺に(m+1)をかけると、2(m+1)≦(m+1)^(m+1)/m^mなので、

2m+1≦2(m+1)≦(m+1)^(m+1)/m^m

これをm=1〜n-1まで両辺を掛け合わせると、

1・3・・・・(2n-1)≦n^n 

*匠の業ね !!

 わたしにゃ思いつけましぇん…^^;…Orz〜☆

・友人からのもの…

左辺/右辺で前後を組み合すと

(n-k)*(n+k)=n^2-k^2<=n^2

から、いえる

*つまり…

(1/n)*((2n-1)/n)* (2/n)*((2n-2)/n)* …

=Π(n-(n-k))(n+(n-k))/n^2

=Π(n^2-(n-k)^2)/n^2 <=1

だからですね ^^