アットランダム≒ブリコラージュ

6823：7が1個とあとは1だけを並び替えた数がすべて素数である桁数...

問題6823(IMO short list 1992)

次の条件をみたすような n 桁の数が, いずれも素数であるような n を決定せよ.

条件: ある桁の数字が 7 で, 残りの (n − 1) 個の桁の数字がすべて 1 である. 

解答

・わたしの…

晩飯注文して出てくるまでに考えてたら気付けましたぁ…^^

1/7=0.(142857)

10^6/7=142857.(142857)

999999=7*142857

9*111111=7*142857

つまり…

111111は7の倍数…

じっさいに、

111111/7=15873

つまり…1は5以下しかありえない…^^

しかも…7+2, 7+5 は3の倍数なので…

1は1,3,4 の場合だけ考えればよい…

17,71 は、OK

1711=29*59…x

11711=7^2*239…x

けっきょく…17,71 になるときだけなので…n-1=2…n=3 だけですね ^^

↑

これでは言えてませんね ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様のもの Orz〜

nは桁数なので，{17,71}に対しては，n=2です．
また，{7} に対応するn=1も答とすべきかもしれません．

「111111が7の倍数であること」…(*)は重要なポイントだと思いますが，
例えば1が7個と7が1個のものがだめである理由は，
(*)とはあまりつながらないと思います．

(*)とあわせて，「111111が13の倍数であること」…(**)も用いて，
次のようにできます．

(*)より，1をn-1個，7を1個並べたものに7の倍数xがあれば，
xの先頭に1を6個付け加えたものは7の倍数であり，素数でない．
(**)より，1をn-1個，7を1個並べたものに13の倍数xがあれば，
xの先頭に1を6個付け加えたものは13の倍数であり，素数でない．

nが3の倍数のとき，題意のn桁の数は3の倍数となり，3でないから素数でない．

n=1に対する「7」は7の倍数なので，
n=8,15,22,…のとき，n桁の7の倍数があり，それは素数でない．←訂正→ n=7,13,19,…
(n=1は題意に適する．)

n=4に対する「7111」は13の倍数なので，
n=4,10,16,22,…のとき，n桁の13の倍数があり，それは素数でない．

n=5に対する「11711」は7の倍数なので，
n=5,11,17,…のとき，n桁の7の倍数があり，それは素数でない．

n=8に対する「11171111」は7の倍数なので，
n=8,14,20,…のとき，n桁の7の倍数があり，それは素数でない．

n=2のときの17,71はともに素数．

以上より，求める桁数nは，n=1,2.

*この場合分けでいいことは、下のコメ欄参照願いますOrz〜

上手い方法ですね☆

6822：頭の体操...正方形内の円の重なりとはみ出し...

問題6822・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

図は、１辺１０ｃｍの正方形の内部に半径１０ｃｍの扇形を重ねて描いたものです。

図の赤い部分と青い部分の面積の差は何ｃ㎡でしょうか？

（奈良学園中学　1998年、照曜館中学　2009年）

解答

・わたしの…

見かけと裏腹にふつうの計算で出るのねぇ…^^v

(10^2*π/4-赤)*2+赤+青=10^2

10^2*(2*π/4-1)=赤-青=25*(2π-4)=228/4=47 cm^2

^^

↑

申し訳ないです…228/4=57 でしたぁ…^^; Orz〜

↓

・鍵コメT様のもの Orz〜

228/4=57です．

なお，「白」は，2つの白い部分の一方を表すとして，
(赤)-(青)=(赤+白)-(青+白)=25π-(100-25π)=50π-100
と見ると，見やすいと思います．

*目からコンタクトがポロリ☆

 お気に入り♪

6821：頭の体操...円と平行線...

問題6821・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/zukei/ より 引用 Orz〜

円の１/４の部分の図形ＯＡＢがあります。

（１）上の図において、斜線部分の面積と図形ＯＡＢの面積の比を求めなさい。ただし、直線ＯＡ、ＣＤ、ＥＦは平行です。

（２）上の図のように図形ＯＡＢの弧ＡＢ(曲線の部分)を５等分した各点からＯＡに平行な直線を引きました。０Ａを５ｃｍとしたとき、２つの斜線部分の面積の和を求めなさい。

解答

・わたしの…

(1)

(2) やっと気付けたぁ…^^;v

これを...積分で求めるとするとどうすればいいの？...

6820：頭の体操…円と直交線...

問題6820・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

図のように半径４ｃｍの円の中で、２本の直線が垂直に交わっています。

色のついた部分と白い部分ではどちらが何ｃ㎡大きいでしょうか？

（第２回算数オリンピック、予選問題より）

解答

既出問ね…Orz

・わたしの…

けっきょく…4*2=8 cm^2 の部分だけ大きい ^^

6819：等脚台形内の対角線と内接円...

問題6819・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33829343.html  より Orz〜

　AD＜BC，AB＝DC の等脚台形ABCDがあり、対角線DBで△ABDと△DBCに分けます。

　△ABDと△DBCの内接円とDBの接点をそれぞれP，Qとするとき、

　内接円の半径の比が 2：3 で、DP：PQ＝6：1 であれば、△DBCの辺の比 CD：DB：BC＝？

　ただし、D，P，Q，B はこの順に対角線上にあるものとします。

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33854709.html より Orz〜

[解答1]

　図のように、△ABDの辺と内接円の接点をP，R，T，と△DBCの辺と内接円の接点をQ，S，U，

　CS＝CU＝x，PQ＝k とします。

　DP：PQ＝6：1 より DR＝DP＝6k，DU＝DQ＝7k となり、

　△DRP∽△BSQ で相似比が 2：3 だから、DP：BQ＝2：3 、6k：BQ＝2：3 、BQ＝9k 、

　BS＝BQ＝9k 、BT＝BP＝10k になります。

　AB＝DC より、AT＋10k＝x＋7k 、AR＝AT＝x−3k になりますので、

　結局、AD＝x＋3k，BC＝x＋9k，AB＝DC＝x＋7k，AC＝BD＝16k です。

　△ABD，△DBC の内接円の半径を 2r，3r とすれば、 

　△ABD：△DBC＝(AB＋BD＋DA)･2r/2：(DB＋BC＋CD)･3r/2＝2(AB＋BD＋DA)：3(DB＋BC＋CD) 、

　また、△ABD：△DBC＝AD：BC だから、2(AB＋BD＋DA)：3(DB＋BC＋CD)＝AD：BC 、

　2(x＋7k＋16k＋x＋3k)：3(16k＋x＋9k＋x＋7k)＝(x＋3k)：(x＋9k) 、

　2(2x＋26k)：3(2x＋32k)＝(x＋3k)：(x＋9k) 、2(x＋13k)：3(x＋16k)＝(x＋3k)：(x＋9k) 、

　3(x＋16k)(x＋3k)＝2(x＋13k)(x＋9k) 、x²＋13kx−90＝0 、

　(x−5k)(x＋18k)＝0 、x＝5k となり、AD＝8k，BC＝14k，AB＝DC＝12k，AC＝BD＝16k です。

　よって、CD：DB：BC＝12k：16k：14k＝6：8：7 になります。


[解答2]

　[解答1]と同様に、AD＝x＋3k，BC＝x＋9k，AB＝DC＝x＋7k，AC＝BD＝16k と表され、

　等脚台形は円に内接するので、トレミーの定理より、AD･BC＋AB･DC＝AC･BD だから、

　(x＋3k)(x＋9k)＋(x＋7k)²＝(16k)² 、2x²＋26kx−180＝0 、

　2(x−5k)(x＋18k)＝0 、x＝5k となり、AD＝8k，BC＝14k，AB＝DC＝12k，AC＝BD＝16k です。

　よって、CD：DB：BC＝12k：16k：14k＝6：8：7 になります。

*[解答1]に準じた方法でしたが...ヒントいただいたあとでトレミーにも気付けましたぁ ^^;v

上下の円の中心をC,C'とすると…
△DPC相似△BQC' なので…
6/2=xBQ/3…BQ=9

等脚なので…
10+x=7+y
△の面積比…
(6+x)/(2(32+2x))=(9+y)/(3(32+2y)

を連立すると…
(6+x)/(32+2x)=(9+y)/(48+3y), 3+x=y
x=2, y=5

けっきょく…
CD：DB：BC＝(7+5) : (6+1+9) : (9+5) 
=12 : 16 : 14
=6 : 8 : 7

等脚台形だから...トレミーの定理ね ^^
16^2=(6+x)(9+y)+(10+x)(7+y)
10+x=7+y
から…
16^2=(6+x)(12+x)+(10+x)^2=2x^2+38x+172
x^2+19x-42=(x-2)(x+21)=0
x=2, y=5
と出せれるわけね♪