アットランダム≒ブリコラージュ

6827 ：整数問題…^2...

問題6827(IMO short list 1992)

次の方程式 4^x + 4^y + 4^z = u^2 をみたす整数解 (x, y, z, u) をすべて求めよ.  

解答

・わたしの…

次のものはありえないので…

1/2+1/4+1/4=1

0<=x<=y<=z のとき...

4^x*(1+4^(y-x)*(1+4^(z-y-2x))=u^2

u=4^(x/2)*w^2

1+4^(y-x)*(1+4^(z-y-2x))=w^2

w^2-1=(w+1)(w-1)=4^(y-x)*(4^(z-y-2x)+1)

上を満たすには…y=x or z-y-2x=0

・y=x のとき…  

w-1=±1

w+1=±4^(z-3x)+1

からはなし…2=±4^(z-3x) …だめ

・z-y-2x=0 のとき…

w-1=±2

w+1=±4^(y-x)

から…

2=4^(y-x)-2

y-x=1…z=3x+1

w=3

2=-4(y-x)+2...なし

4^x+4^(x+1)+4^(3x+1)=4^x*(1+4+4^(2x+1))=u^2

(1+4+4^(4m+1))=w^2=3^2

m=0

x=0, y=1, z=1

実際に…

4^0+4^1+4^1=9=(±3)^2

つまり…

(x,y,z,u)=(0,1,1,±3),(1,0,1,±3), (1,1,0,±3), 

だけかなぁ…^^….?

6826：凸六角形の6以上の合同分割...

問題6826(IMO short list 1997)

6 以上の任意の整数 n に対し, ある凸6角形で, 丁度 n 個の合同な三角形に分割できるものが存在することを証明せよ. 

解答

・わたしの…

まだよくわかってないけど…^^;

平行四辺形と△の組み合わせでいけそうな気が…?

ちなみに…7分割の図を考えてみた…^^

6825：奇数 nのnxnの縦横...1〜nの対角線に対称な並び...

問題6825(IMO short list 1995)

n を正の奇数とする。n^2個のマスが縦 n 列, 横 n 行の正方形状に並んでいる。

それぞれのマスには 1 から n の数が入っていて, 各行, 各列には 1 から n の数が１回ずつ現われる。さらに数の配置は正方形のある対角線に関して対称である。このときその対角線上には 1 から n の数が１回ずつ現われることを証明せよ。 

解答

・わたしの…

対角線上の数を除いた数はすべて2倍出てる…

縦、横の合計ではすべての数は2回ずつカウントされている…

対角線上の数も2回カウントするとすべての数が2回出現しないとパリティが揃わない。

つまり、対角線上の数は 1〜n が揃っていなければならないことが分かる ^^

でいいのかな…?

・鍵コメH様のスマートな解法 Orz〜

対称の軸となる対角線以外の数字はどの数字も偶数回出ています、

仮定より同じ数字は全て奇数個あるので、条件を満たすのは

対角線で全ての数字が１回ずつ使われている場合だけですね

*言われてもしばし考え込んだりして…盲点でしたぁ…^^; ...

6824 ：正方形を二通りに百個の等面積分割したとき...

問題6824(IMO short list 1995)

正方形を, 面積が等しい 100 個の部分に分けるやり方が 2 通り与えられている。このとき, 正方形の中から 100 個の点を選んで, ど ちらの分け方でみても, 各部分にちょうど 1 点ずつ入っているようにできることを証明せよ。 

解答

・わたしの…

昨日寝ながら考えてた…^^;

必ず、重なる部分が存在する…

その一つの方法でのどの1/100も…

もう一つの方法での1/100の一部と重なっているはず…

でないと、面積が合わなくなる ^^

これは逆も同じであり、すべてのピースは他のピースで重複せず覆われているということ…

ならば、片方のピースは100この別のピースで覆われているわけだから、片方のピース100個の1ピース毎に、片方の100個のピースの部分の1〜100の部分から重複せずに100個の点が選べることがわかる ^^

デラックス海鮮中華丼…^^

腹が空いてなきゃ食べるでないぞって患者さんには言ってるわたしなのに…

天津飯が頭をかすめたものだから一路ここへ ^^

なのに...広告観たらいかにも美味しそうに見えてしまったからこいつに変更…^^;

信念のない簡単に転向しちゃう我…^^;;…

ふつうの中華の方が旨かね…Orz…

やっぱり、天津飯にすればよかった...後悔後を引く…^^…

写真・見た目に騙されちゃいやすいわたしはここでもその学習の成果出せず…

but...せぬ後悔よりもした後悔ってのがあったこと思い出したり ^^

どうせ後悔するならしなかった/すればよかったと後悔するよりした後悔の方がましってのには同意☆

(「した後悔、せぬ後悔」...http://ameblo.jp/lapislazuri0123/entry-11591454677.html 参照)

http://www.emily-english.com/archives/50308131.html より 引用 Orz〜

「It's better to regret doing something than to regret not doing it.

　やらないで後悔するより、やって後悔したほうがいい。」