アットランダム≒ブリコラージュ

6899：２個の平方数で任意のm^nが表せる...

問題6899(IMO short list 2002)

任意の自然数 n に対し, 互いに素な 2 つの自然数 x, y をうまくとれば, 

平方和 x^2 + y^2 がある自然数の n 乗に等しくなることを示せ.
ここで自然数とは, 1 以上の整数のことをいう. 

解答

・わたしの…

n が偶数のときは簡単…

x^2+y^2=m^2 はあるので…

両辺にm^(2k) を掛ければ…

(m^K*x)^2+(m^k*y)^2=m^(2m+2)

奇数のときは…

2+2=2^2 を使えばいいですね ^^

両辺に2^(2m-1)を掛けると…

2^m+2^m=2^(2m-1)

^^v

 ↑

嘘ですね…^^;

運転中に、x,yが互いに素に気付きましたぁ…Orz〜

以下のサイト発見♪

http://ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp/www.artis-research.com/Footmark/bbs-form28158.htm

(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2

z=x+iy…|z|^2=x^2+y^2

z*=x-iy…|z*|^2=x^2+y^2

|z|*|z*|=x^2+y^2

|z^(2m)|=|z^2|^m=|z^m|^2

を使えば言えるのね☆

またのちほど…^^

6898：n点で等しい線分がn本...

問題6898(IMO short list 2002)

n を 2 以上の整数とする. 平面上の n 個の点からなる集合 S がある. S の任意の相異なる 2 点 A, Bについて, S の点を両端点とする線分で, 長さが線分 AB に等しいものが, AB を含めてちょうど n 本ある. S の点の配置を決定せよ. 

解答

・わたしの…

正n角形なら少なくとも、辺においては言える…

これが任意の２点でも言えるわけだから…

対角線が等しい長さのものがn本になるものを考える…

n(n-3)/2=n…n=5 or 0

つまり…

正三角形 or 正五角形

^^

6897：面積…長方形と△...

問題6897・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

図のように長方形ＡＢＣＤと三角形ＢＣＥがあり、ＤＥとＢＣの交点を点Ｆとします｡

また、辺ＡＢ上にＡＧ：ＧＢ＝３：１となるような点Ｇをとり、点Ｇと点Ｆを結びます。

ＦＣ＝６ｃｍ、ＢＥ＝３ｃｍのとき、三角形ＡＧＦの面積は何ｃ㎡になりすか。

ただし、３点Ａ、Ｂ、Ｅは一直線上にあります。　

（西大和学園中学　２０１４年）

解答

・わたしの…

ちと考えた…^^;

↑

間違ってましたぁ…^^; Orz〜

あちゃさん様ご指摘グラッチェ〜m(_ _)m〜

↓

9*(3/4)=27/4=6.75 cm^2

でしたね ^^

毎度毎度自分ながらよくも間違い続けられるものと呆れてます…^^;…Orz...

半側発汗 / 「芸者の高帯」…^^;

これなる言葉は知らなかった…^^;

http://ja.wikipedia.org/wiki/半側発汗 より Orz〜

「半側発汗（はんそくはっかん、英: hemihidrotic reflex）とは、反射の一種で、人体の左右上下のいずれかを圧迫すると、半側で発汗し、その反対側の発汗を抑えるいう皮膚圧発汗反射の現象。日常レベルでの応用として、帯を胸の高い位置で結ぶことで顔からの発汗を抑制する方法（「芸者の高帯」）が古くより知られている。」

画像：http://wakiga.nioi.me/maiko-hansokuhakkan/ より 引用 Orz〜

「発汗は交感神経系が支配しているので、交感神経系を意図的に刺激してやると、発汗をある程度コントロールすることができます。

交感神経を刺激するためには、皮膚を圧迫します。そして、圧迫する場所によって、発汗が促進する場所と、発汗が抑制される場所ができるのです。これは半側発汗（はんそくはっかん）と呼ばれている現象です。

たとえば左の脇の下を圧迫すると、顔面の左側と左上半身の汗が抑制されます。逆に顔面の右側と右上半身の汗は促進されます。

そして、乳首の上あたりを圧迫すると、脇汗と顔の汗を抑えることができます。

舞妓さんはこの半側発汗（はんそくはっかん）を経験的に知っており、胸のあたりを帯できつく締めることによって、顔の汗を抑制して、化粧が崩れないように汗対策をしているのです。」

http://takansyou.sblo.jp/article/63952171.html より 引用 Orz 〜

「この方法は、舞妓さんが化粧崩れをしないために昔から使われている方法です。

「半側発汗」（はんそくはっかん）と呼ばれる方法で体のどこかを圧迫すると、圧迫されていない反対側が汗をかき、圧迫されている側が汗を抑えられるという皮膚の性質があります。

皮膚圧反射と呼ばれるもので、例えば全身汗をかいているときに、横になると自分の体重で押されている側は汗がひき、押されていない側は汗を余計にかくという現象が発生します。

右を圧迫すれば左、上を圧迫すれば下が汗をかき、反対側が汗が抑えられます。

・・・

またお腹やお尻、足など下半身の汗を抑えたい場合は骨盤や股関節の真横を抑えると発汗がとまるそうです。」

http://lifestyle.jp.msn.com/healthcare/feature/舞妓さんもやっている？知って役立つ“汗を一瞬で止める”テクニック-1?page=2 参照

画像：http://tease704.com/11/17/ より 引用 Orz〜

身柱（しんちゅう）

手汗に効果のあるツボ

大椎（首の後ろの付け根）を手で触ると大きく飛び出る骨から背骨を３つ下がったところ

復溜（ふくりゅう）

寝汗に効果のあるツボ

場所：アキレス腱の近く。

*してみると…ツボってのは(鍼灸)...交感神経反射を利用しているもので…

漢方の調合のように、長い年月で経験的に先人らが発見して来た特異点ってことみたいだなぁ☆

*わたしゃ…ホルネル徴候=ホルネル症候群と勘違いしてましたぁ…^^;

顔面半側に大汗をかく方があって…ホルネルじゃなかったっけと…^^;;…

(たぶん...この半側発汗のメカニズムからすると...反対即の顔面の圧迫が原因かも知れないなぁ…?

反対側臥位になったら、逆の顔面に大汗をかかれればこれですね !! ^^)

この記事は、ホルネル徴候を調べててできちゃったんだけど…Orz…v

画像：http://haiganxx.seesaa.net/article/300510619.html より 引用 Orz〜

画像：http://meddic.jp/ホルネル症候群 より 引用 Orz〜

「原因

• 悪性腫瘍

• パンコースト腫瘍

• 脳血管疾患

• ワレンベルグ症候群
• セスタン・シュネ症候群

• 医原性

• 鎖骨下動脈に対する手術
• 頚部手術におけるリンパ節郭清時の損傷」

*散瞳(mydriasis)＝交感神経の亢進 or 副交感神経の抑制

*縮瞳(miosis)＝副交感神経の亢進 or 交感神経の抑制

wiki より Orz〜

「散瞳

瞳孔の大きさを調節する虹彩に関わる筋肉の形には2種類あり、円形と放射状である。前者は副交感神経系に、後者は交感神経系に刺激を受ける。α1アドレナリン受容体の交感神経刺激によって放射状筋肉の収縮が起こり、続いて瞳孔が散大する。一方副交感神経刺激で円形筋肉の収縮、続いて瞳孔が収縮する。

散瞳の原因はこの刺激の際に使われる物質による。たいていは、瞳孔収縮を引き起こす眼への副交感神経の断絶か交感神経系の過敏のいずれかである。

アトロピンはムスカリンアセチルコリン受容体の障害となる。アセチルコリンは副交感神経の神経伝達物質で、この作用が遮断されれば瞳孔は収縮しない。逆に交感神経系の神経伝達物質であるノルアドレナリンにより瞳孔散大が起こる。

コカインやメチレンジオキシメタンフェタミン（MDMA、エクスタシー）は神経シナプス内のノルアドレナリン再取り込みを抑制する。コカイン溶液が眼に滴下されればノルアドレナリンは神経によって再吸収されず、濃度は上昇する。

mydriatics（散瞳薬）は瞳孔散大を誘引する物質である。硫酸アトロピン、塩酸フェニレフリン、トロピカミドなどの薬剤は医学において使用され、網膜や他の眼深部構造の診断や有痛性毛様体痙攣の緩和を可能にする。

miotics（縮瞳薬）は瞳孔収縮を誘引する物質である。ピロカルピン、アセチルコリン、フィゾスチグミン、エゼリン、モルフィンなどの薬剤は医学において使用され、網膜や他の眼深部構造の診断や無痛性毛様体痙攣の緩和を可能にする。」

http://ja.wikipedia.org/wiki/ホルネル症候群 より Orz〜

「ホルネル症候群（ Horner's syndrome）は、上位の交感神経系が障害されることで生じる一連の諸症状。頚部交感神経麻痺、ホルネル徴候ともいう。1869年にスイスの眼科医ヨハン・フリードリヒ・ホルネルによって記載されたが、1727年にフランスの軍医フランソワ・プルフール・デュ・プチによってイヌの頚部交感神経を切断して縮瞳が起きることを観察し初めて発見されたが不明だったため、記載されず逆ホルネル症候群として呼ばれている。逆ホルネル症候群はイタリアの医師セラフィーノ・ビッフィ（1822年 - 1878年）によって1846年に発見されている。クロード・ベルナールも1865年にウサギの頚部交感神経を切断して耳が暖かくなって血管網が拡張していることを観察しているのでフランスやイタリアでは、クロード・ベルナール・ホルネル症候群と呼ばれている。

病態

主にC8〜Th2までの交感神経を圧迫または損傷等によって障害することで生じてくる。原因疾患は多彩で、主に上胸部の腫瘍によるものや外傷（神経根引き抜き損傷など）によるものが知られている。

症状

• 縮瞳（交感神経の障害が瞳孔散大筋の麻痺を結果し、瞳孔が縮小する。）
• 眼瞼下垂、瞼裂狭小（上眼瞼筋の麻痺により眼瞼裂が狭小する。また、眼球陥凹は瞼裂狭小による見せかけのもので、ヒトでは出現しない）
• 発汗低下（同側顔面の無汗症等）
• 虹彩異色症（必発ではなく、まれ）　」

*詳しい神経走行は...以下のサイトへ Go〜♪

http://ameblo.jp/yudaganka/entry-10739084860.html

外転神経麻痺とホルネル症候群

*つまり…「芸者の高帯」はこれと同じ症状になってるはずと思われますね♪

6896：平方数…２個の３桁の数の和が999...

問題6896・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33879124.html  より Orz〜

　和が 999 である２個の３桁の自然数があって、それを並べてできる６桁の数は２種類あります。

　その２種類の６桁の数の積が平方数であるとき、もとの２個の３桁の自然数は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33903311.html より Orz〜

　もとの２個の３桁の自然数を a，b (a＞b) とすれば、a＋b＝999 です。

　６桁の２数の積は、

　(1000a＋b)(1000b＋a)＝(999a＋a＋b)(999b＋b＋a)＝(999a＋999)(999b＋999)＝999²(a＋1)(b＋1)

　となって、(a＋1)(b＋1) が平方数になればよいことになります。

　ここで、GCD(a＋1，b＋1)＝g とすれば、互いに素な自然数 c，d (c＞d)を用いて、

　a＋1＝c²g，b＋1＝d²g と表されます。

　(a＋1)＋(b＋1)＝1001 だから、(c²＋d²)g＝7･11･13 です。

　ここで、c²，d² を 7 で割った余りは　0，1，4，2 ですので、

　c²＋d² が 7 の倍数になるのは c，d の両方が 7 の倍数のときで、

　これは、c，d が互いに素であることに反します。よって、g が 7 の倍数になります。

　また、c²，d² を 11 で割った余りは　0，1，4，9，5，3 ですので、

　c²＋d² が 11 の倍数になるのは c，d の両方が 11 の倍数のときで、

　これは、c，d が互いに素であることに反します。よって、g が 11 の倍数になります。

　さらに、c²＋d²＞1 ですので、g＝77，c²＋d²＝13 です。

　c＞d ですので、c＝3，d＝2 となって、

　a＋1＝c²g＝693，b＋1＝d²g＝308 、a＝692，b＝307 です。


[参考]

　和が 999 という条件をはずして、a＞b として、プログラムで求めました。

　(a，b)＝(804，111)，(831，600)，(729，344)，(692，307)，(554，400)，(277，200) です。

*なんとなく解答もどきで…^^;

a+b=999
(10^3*a+b)(10^3*b+a)=10^6*ab+10^3*(a^2+b^2)+ab
10^6*ab+10^3*((a+b)^2-2ab)+ab
=ab(10^6-2*10^3+1)+999^2*10^3
=999^2*(ab+10^3)

10^3+ab=10^3+(999-a)*a が平方数になればいい…
10^3+999a-a^2=(1000-a)(1+a)=m^2
1000-a=p^2*q
1+a=q*r^2 と置くと…
1001=7*11*13=q*(p^2+r^2)
13=2^2+3^2 と表せる ^^ 
つまり...
1+a=7*11*2^2 or 7*11*3^2
a=307 or 692