アットランダム≒ブリコラージュ

6904：最小公倍数…LCM(a,b,c)=720...

問題6904(友人問)

正の整数の組(a,b,c)で、a,b,cの最小公倍数が720となるようなものはいくつあるか？

ただし、3つの数の並ぶ順番が異なる組は区別して数える。

解答

・わたしの…

720=2^4 x 3^2 x 5

a=2^p(a)*3^q(a)*5^r(a)

b=2^p(b)*3^q(b)*5^r(b)

c=2^p(c)*3^q©*5^r©

pは0〜4のなかから重複を許して3個選び、0〜3の中から重複を許して3個選ぶ場合を引く…

4H3-3H3=6C3-5C3=20-10=10

qは0〜2の中から重複許して3個選び、0〜1から重複許して3個選ぶものを引く…

3H3-2H3=5C3-4C3=10-4=6

rは…2H3-1H3=4C3-3C3=3

けっきょく…

10*6*3=180個

でいいかな…^^

↑

これまた間違ってる…^^;;…Orz〜〜〜

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「0〜4の中から重複を許して3個選ぶ」なら，5H3ですが，
実際は，「0〜4の中から重複を許して3個並べる」なので，5^3です．
(p(a),p(b),p(c)として，3,1,4と4,3,1は別物です．)

結局，
(5^3-4^3)*(3^3-2^3)*(2^3-1^3)=61*19*7=8113(個)

*たしかにそうですね ^^☆

6903：頭の体操…求角...正方形と正三角形...

問題6903・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

図で四角形ＡＢＣＤは正方形で、三角形ＡＢＦと三角形ＣＤＥは正三角形です。角度「あ」は何度ですか？

（浦和明の星女子中学　２０１４年）

解答

・わたしの…

90-60=30

(180-30)/2-30=75-30=45°

^^

6902：球面上の格子点の数...

問題6902(類推問 ^^)

(1) 半径5^2の球面上の格子点の数は？

　  あるなら、できればその点も求めて下さい。

(2) 半径5^4の球面上の格子点の数は？

　  あるなら、できればその点も求めて下さい。

解答

(2) はまだ計算してないですけど…^^;…またいずれ Orz〜

6901：倍数...各桁の和...

問題6901(IMO short list 2000)

n, k は正整数で, n は 3 の倍数でなく, k ≧ n である. 

このとき, 次の条件をみたす正整数 m が存在することを示せ.

条件: m は n の倍数であり, m の十進表記の各桁の和は k である. 

解答

・わたしの…

これは簡単では…?

n=1

k=2~9

m=2~9

n=2

k=5

m=14

とか…いくらでもありそう…?

勘違いしてるのかな？…^^;

6900：約数…2^n-1がm^2+9の約数...

問題6900(IMO short list 1999)

ある整数 m が存在して 2^n − 1 が m^2 + 9 の約数になるような, 

正の整数 n をすべて決定せよ.    

解答

・わたしの…

2^n-1は2進法で111…111なので、4で割って3余る数…

平方数は4で割って1 or 0しか余らないので…

9≡1なので...

m^2≡2　mod 4

となるが、このような平方数はない…

つまり、2^n-1=1 or 3 のとき以外ない…

n=1 or 2

でいいかな ^^