アットランダム≒ブリコラージュ

sensual sandwich ^^

久しぶりにサンドイッチが欲しくなり…

今日は暖かかったせいか久しぶりにアイスコーヒーが飲みたくて…^^

新メニューがいかにも肉感的に見えたもので…

かぶりついたのは言うまでも御座いましぇん♪

人肌の温度でなかったのでちょっぴりいや、かなり憮然/愕然…Orz〜…^^;v

6911：すべての辺の長さが１の奇数角形...

問題6911(IMO short list 1997)

n が 3 以上の奇数のとき, 座標平面上の n 角形で, すべての辺の長さが 1 で, すべ

ての頂点の x 座標も y 座標も有理数であるようなものは存在しないことを証明せよ. 

解答

・わたしの…

どの点から始めても、次の点までの線分1を格子とする図形で考えられるので...

格子点で考えると…

x,y軸に沿って動くしかない…

点に交互に0,1を付けて行くとき、元に戻るためには、0から出発したら0にならない限り戻れないが…

0は1より1個多いので...点の数は奇数個になる＝辺の数は偶数

つまり…奇数多角形はありえない ^^

↑

鍵コメT様からのもの Orz〜

↓

隣の頂点まで，(q/p,r/p)だけ進むとする．
ただし，必要なら，p,q,rをその最大公約数で割ることで，
p,q,rの最大公約数は1としてよい．

(q/p)^2+(r/p)^2=1より，q^2+r^2=p^2.
このとき，q,rがともに偶数だと，pも偶数となり，最大公約数1に矛盾．
q,rがともに奇数だと，q^2,r^2はともに4で割って1余り，
q^2+r^2は4で割って2余るから，2で1回だけ割り切れて，
pが奇数だとp^2は2で割り切れず，pが偶数だとp^2は2で2回以上割り切れるので矛盾．
よって，q,rはその一方だけが奇数であり，pは奇数である．

さて，n角形(nは奇数)の頂点を一周順にたどるとき，
各ステップでの移動量(q/p,r/p)に対して，分母pはすべて奇数．
その最小公倍数をDとして，移動量をすべて分母Dで表すと，
各ステップの移動量のx,yの分子は，いずれも一方が偶数で他方は奇数．
よって，各点の座標をp倍したとき，各点はすべて格子点であり，
そのx座標とy座標の和は，偶数の点と奇数の点が交互に並ぶが，
頂点数が奇数だから，これは不可能．よって，題意は示された．

*お気に入り♪

6910：パズル...縦横斜めに重ならない並べ方...

問題6910・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

下図のような４×４の格子盤上に４個の星を並べるとき、縦、横、斜めの直線上に２個以上の星が並ばないようにするためには、次のようにすればよいですね。

では、同様にして、８×８のチェス盤上に８個の星を縦、横、斜めの直線上に２個以上並ぶことのないように並べてください。

解答

・わたしの…

同様に桂馬飛びにしてみると…必然的に…?

何通りの並べ方があるか考えてみた ^^

8!-2=40318通り　かな ?

↑

これは有名な問題なのねぇ☆

↓

http://ja.wikipedia.org/wiki/エイト・クイーン より Orz〜

「このパズルは、1848年にチェスプレイヤーのマックス・ベッツェルによって提案された。ガウスを含む多くの数学者がこの問題に挑戦した。1874年に Gunther が行列式を用いて解く方法を提案し、イギリスのグレイシャー(Glaisher)が全解が12個であることを確認した。

基本解は12種類ある。下記の解1〜11は、回転と鏡像でそれぞれ8種類の変形がある。解12は点対称なので、4種類の変形しかない。したがって、解の総数は 92（＝8×11＋4）になる。

対角線に置いちゃ使える場所が減っちゃうから駄目だろうとまでは考えて...あとは試行錯誤しましたけどなかなか見つけられないものねぇ…^^;…

92/8!=92/40320=23/10080=0.2282%

500回くらい試行錯誤して1解見つけられるかどうかってなくらい難いのねぇ…^^;;...

6909：頭の体操…場合の数...黒石が隣り合わない...

問題6909・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

黒と白の丸い石がたくさんあります。このうち７個を図のように並べます。

このとき、黒の石が隣り合わないような並べ方は何通りあるでしょうか？

ただし、回転して同じになるものは１通りと数えます。

（２０１０年算数オリンピック、トライアル問題より）

解答

・わたしの…

これは簡単過ぎじゃん？

全部白のとき…1通り

真ん中だけが黒のとき…1通り

真ん中が白で、外に黒1個のとき…1通り

　　　　　　　外に黒2個のとき…2通り

　　　　　　　外に黒3個のとき…1通り

計=6通り

全部白の場合を考えなければ5通り

^^

6908：頭の体操…15! の下４桁...

問題6908・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/gokui/ より 引用 Orz〜

１から１５までの１５個の整数をすべてかけたとき、下４ケタは いくつですか。

（早稲田中学　２０１３年）

解答

・わたしの…

15/2=7…7/2=3…3/2=1…2^11

15/3=5…5/3=1…3^6

15/5=3…5^3

15/7=2…7^2

15/11=1…11

15/13=1…13

下３桁は000

2^8の下一桁=1024/4=6

3^6…=9

7^2…=9

けっきょく…

6*9*9*1*3=8

8000

じっさいに…

15!=1307674368000

^^