こんにちは、ゲストさん
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図のように、１辺が１０ｃｍの正方形ABCDの辺AB上に点EをBE＝７ｃｍ、辺DC上に点FをCF＝５ｃｍとなるようにとります。このとき、斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。
（桐光学園中学 ２０１０年）
解答
・わたしの…
5*10/2-10*(5/12)*5/2
=25(1-5/12)
=25*7/12
=175/12 cm^2
or
35-x : 25-x =49 : 25
25(35-x)=49(25-x)
24x=49*25-25*35=25*14
x=25*14/24=25*7/12=175/12
^^
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立方体の形をした容器を傾けて固定し，水を注いだところ，図１のようになりました。
さらに水を注ぐと図２のようになり，このときの水の体積は立方体の体積の１１/１４でした。
図１の水の体積は立方体の体積の何倍ですか｡
(灘中学 2013年)
解答
・わたしの…
図2の下に図1をくっつけると…図1の3個分が図2の空きの空間部分とわかる ^^
1-11/14=3/14
から…
図1の体積=1/14 ですよね ^^…?
↑
間違ってる…^^;…Orz〜
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
「3個分」ではないような．．．
図1の底面の対角線(水面の線)について対称に， 図1の水の部分を移すと見やすいと思いますが， この体積は，三角錐です． 図2の，水のない部分も，同様に移してみると， 同じ高さの四角柱となり， 底面積が2倍で，錐体が柱体になっているので， 体積は6倍となると思います． ということで，結論は1/28ですね． *わたしゃアバウトすぎる思考でしたぁ…^^;...
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(1) n＝1，2，3，4，5，6，7 において、ガウス記号を用いて [0．625･n] で表される数の総和は？
(2) n＝1，2，3，……，124 において、ガウス記号を用いて [0．888･n] で表される数の総和は？ 解答
上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33806407.html より Orz〜
[解答1]
(1) 0．625･n＝5n/8 は n＝1，2，3，4，5，6，7 のとき整数になりません。 また、0．625･n＋0．625･(8−n)＝5 なので、[0．625･n]＋[0．625･(8−n)]＝4 、 求める総和は、この式で、n＝1，2，3 の場合と [0．625･4] を加えればよいから、 4･3＋[0．625･4]＝12＋2＝14 です。 (2) 0．888･n＝111n/125 の n＝1，2，3，……，124 のとき整数になりません。 また、0．888･n＋0．888･(125−n)＝111 なので、[0．888･n]＋[0．888･(125−n)]＝110 、 求める総和は、この式で、n＝1，2，3，……，62 の場合を加えればよいから、 110･62＝6820 です。 [解答2] (1) [0．625･n]＝[5n/8] の n＝1，2，3，4，5，6，7 のときの総和については、 縦 5 ，横 8 の長方形を １目盛が１の方眼にし、左下隅と右上隅を結ぶ対角線を(赤で)描き、 縦 5 ，横 1 の長方形に左から、0，1，2，3，4，5，6，7 と番号をつけます。 番号 n の長方形の左の辺の、(赤い)対角線の下の長さが 5n/8 だから、 番号 n の長方形の、(赤い)対角線の下の方眼の個数が [5n/8] です。 よって、求める [5n/8] の総和は (赤い)対角線で分割されない方眼の数の 1/2 になります。 (赤い)対角線は、方眼の横線と 5−1 ヶ所，縦線と 8−1 ヶ所 の合計 5＋8−2 ヶ所で交わるので、 分割される方眼の数は 5＋8−2＋1＝5＋8−1 個です。 よって、求める総和は (5･8−5−8＋1)/2＝14 です。 (2) [0．888･n]＝[111n/125] の n＝1，2，3，……，124 のときの総和については、 (1)と同様に、 (111･125−111−125＋1)/2＝6820 です。 *わたしゃ…[解答2]の方でしたぁ ^^
長方形の対角線で半分になるけど...互いに素なので…1だけ減っちゃう...
(1) 0.625=5/8 8=1+7=2+5=3+4 (5*7-7)/2=14 (2) 0.888=111/125 125=1+124=2+123=… (111*124-124)/2=6820 |
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発想が面白かったもので…♪
その方程式のこんが実根を持つかどうかの判定をする式が…判別式で…
なじんでいるのは…2次方程式のときのもの…
f(x)=x^2+ax+b の2根をα、βとするとき…
D=(α-β)^2>=0 なら実根、D<0 なら虚根
どうように、3次方程式以上においても判別式を考えることができて…
以下は、wkf*ho*6さんの提示されてるものです☆
http://9010.teacup.com/1942may/bbs/? より 引用 Orz〜
Δ(f)=D のことで…
上記サイトから Orz〜
f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)=0
「d == ((α - β)*(γ - α)*(β - γ))^2,
1 + α β γ == 0, -3 - α β - α γ - β γ == 0, α + β + γ == 0 」
α,β,γは0でない…
α^3-3α+1=0
β^3-3β+1=0
γ^3-3γ+1=0
(α^3-β^3)-3(α-β)=0
(β^3-α^3)-3(β-γ)=0
(γ^3-α^3)-3(γ-α)=0
α=β=γではないから…
そうだとすると…1+αβγ=0 から…α=β=γ=-1 となるが、α+β+γ=-3 は 0に反する…
α^2+αβ+β^2=3
β^2+βγ+γ^2=3
γ^2+γα+α^2=3
(α-β)^2=3(1-αβ)=3(1+1/γ)=3(4-γ^2)
(β-γ)^2=3(1-βγ)=3(1+1/α)=3(4-α^2)
(γ-α)^2=3(1-γα)=3(1+1/β)=3(4-β^2)
{(α-β)(β-γ)(γ-α)}^2
=27(4^3-16(α^2+β^2+γ^2)+4(α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2)-α^2β^2γ^2)
α^2+β^2+γ^2=(α+β+γ)^2-2(αβ+βγ+γα)=6
α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2=(αβ+βγ+γα)^2-2αβγ(α+β+γ)=9
α^2β^2γ^2=1
=27(4^3-16*6+4*9-1)
=27*3
=81
*もっと簡単に求められるんだろうか知らん…^^;…?
つまり…
D=81 > 0
f(z+1/z)=(z+1/z)^3-3(z+1/z)+1=(1+z^3+z^6)/z^3=0
z=0 ではないので…z+1/z>=2
z^6+z^3+1=s^2+s+1=0・・・s=z^3
s=ω or ω^2
ω=e^(i*2π/3)
つまり…
z=ω^(1/3)=e^(i*2π/9)
1/z=z^8==e^(i*8π/9)
z+1/z=z+z^8, z^2+1/z^2=z^2+z^7, z^3+1/z^3=z^3+z^6, z^4+1/z^4=z^4+z^5
のなかの3この値がα,β,γ
なのね…^^
x=z+1/zの変換は…3実根になるはずだから共役な複素数で置換してみるってことね…^^
z^3+1/z^3 が根にならない理由がわからない…^^;…? ↑
鍵コメT様からコメ頂戴しました☆ グラッチェ〜m(_ _)m〜
↓
ヤドカリさんの[問題608]が，3次方程式の判別式についてのもので，
(*解答：http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33028031.html)
そこに，私のコメントとして紹介されている方法ですが， f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ),f'(x)＝3(x−A)(x−B) であるとき， f'(x)=(x-α)(x-β)+(x-β)(x-γ)+(x-γ)(x-α)であることから， (β-γ)^2(γ-α)^2(α-β)^2=-f'(α)f'(β)f'(γ) =-27(α-A)(α-B)(β-A)(β-B)(γ-A)(γ-B) =-27(A-α)(A-β)(A-γ)(B-α)(B-β)(B-γ) =-27f(A)f(B) が成り立ちます． f(x)=x^3-3x+1 に対しては，A=1,B=-1とできて， D=-27(-1)・3=81ですね． *すっかり忘れてしまってるわたしの記憶の半減期は一体全体どのくらいなんだろ…
刹那だったりしたら…^^;...あまりにも切なさ過ぎる…^^;;…Orz...
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