アットランダム≒ブリコラージュ

6753：正六角形の３方向へその直前の形の3,6,8倍に拡大したときの周長...

問題6753・・・浮浪さんの「浮浪の館」 http://homepage1.nifty.com/Hagure/mondai.html

より Orz〜

解答

上記サイトより Orz〜

・たけちゃんさんのもの Orz〜

はじめの六角形の一辺を1とし，正三角形6個集まったものと見る．
第1段階で，1のばすたびに，正三角形は4個ずつ増えるから，
面積3倍にするには，3のばして長さを4にすればよい．
この時点で，面積は正三角形18個分．
第2段階で，1のばすたびに，正三角形は10個ずつ増えるから，
面積を6倍にするには，9のばして長さを10にすればよい．
この時点で，面積は正三角形108個分．
第3段階で，1のばすたびに，正三角形は28個ずつ増えるから，
面積を8倍にするには，27のばして長さを28にすればよい．

よって，周長は，(4+10+28)/3=14(倍).

・鯨鯢(Keigei)さんのもの Orz〜

立方体・直方体の見取り図の見える部分の面積(表面積の半分)の面積として考えました。
1×1×1 の立方体の見取り図の見える部分の面積(表面積の半分)は 3、
a×1×1 の直方体の見取り図の見える部分の面積(表面積の半分)は 3×3＝9 だから、
a＋a＋1＝9 、a＝4 、
4×b×1 の直方体の見取り図の見える部分の面積(表面積の半分)は 9×6＝54 だから、
4b＋b＋4＝54 、b＝10 、
4×10×c の直方体の見取り図の見える部分の面積(表面積の半分)は 54×8＝432 だから、
40＋10c＋4c＝432 、c＝28 、
結局、辺の長さは平均して (4＋10＋28)/3＝14 倍です。

・わたしのぐすいもの ….^^;

3倍のとき...図を描いて…辺の数=4
それを6倍にしたとき、両端の３倍の内側の辺を伸ばすと中に平行四辺形ができる…
正三角形の数=6*3*6=108
両端の(18+1)*2=38を引いた108-38=70が、平行四辺形(4+1)*xになる。
5*1 が正三角形(18/2+1)=10個分なので、70/10=7…から、6倍の辺は正三角形の辺の7+1+1+1=10個分

8倍の図を同じように描くと…
108*8=864
(864-2*(108+4^2))=616
これが、(10+4)*x で…14*1 は14*2=28個分なので…616/28=22
から、8倍分の正三角形の数は…22+4+2=28個

けっきょく、(4+10+28)/3=14倍 ♪

鯨鯢(Keigei)さんの解法の理解に努めたいわたしです…^^;…v

6752：既約分数...

問題6752・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/chonanmon/ より 引用 Orz〜

次のように、１より小さく、もうこれ以上約分できない分数がある規則に従って並んでいます。

（１）２０番目の分数を答なさい。

（２）７/１１ は初めから数えて何番目ですか。

（３）分子と分母の数の和が１０５である分数は何個出てきますか。

(開智中学、最近の問題から過去問解法集より）

解答

・わたしの…

φ(2)=1

φ(3)=2

φ(4)=4(1-1/2)=2

φ(5)=4

φ(6)=φ(2)φ(3)=2

φ(7)=6

φ(8)=8(1-1/2)=4・・・(1) この3番目が20番目なので…5/8

φ(9)=9(1-1/3)=6

φ(10)=φ(2)φ(5)=4

φ(11)=10・・・(2) 31番目+7=38番目

(3)

a+b=105

φ(105)=φ(3)φ(5)φ(7)=2*4*6=36個

つまり、105と素な数a or bが36個

a が105と素ならbも素

　a=105-b で、bが105と素でないとしたら…

　105 と b の公倍数があることになり、aは105と素に反するから…

a or b のどちらかが大きいから…

じっさいは、36/2=18個　のはず…

じっさいの数値の求め方がわからなかったりする…^^;

算数の範囲でできるんだろうか…?

↑

間違ってましたぁ…^^;…Orz〜

↓

・鍵コメT様のもの Orz〜

(3) 2*4*6=48なので，結論は24個です．

算数なら，列挙でしょうか．

「分子が3,5,7で割り切れなければよい」ことがわかれば，
1〜52のうちで，上記を満たすものを数えればよいですね．
奇数の素因数は11以上しかみたないので，2つ以上奇数の素因数をもつことはなく，
次のように数えられます．
(もちろんもっと素朴に数えてもよいですが．．．)
1,2,4,8,16,32,
11,22,44,
13,26,52,
17,34,
19,38,
23,46,
29,31,37,41,43,47
の24個．

・鍵コメN様のもの Orz〜

2*4*6=48ですね。

本質的には同じですが、算数的に解くと、こんな感じでしょうか。
まず、3,5,7の倍数の数を求めます。

105は3×5×7と因数分解されて、
1〜104までの中に
3の倍数、5の倍数、7の倍数はそれぞれ34個、20個、14個あります。
すべてを足すと、68個

このうち重複して数えているのが、3×5、3×7、5×7の倍数です。
これらがそれぞれ6、4、2個なので
68からこの合計を引くと56個

3,5,7と互いに素な数は、104-56=48個

最終的には、48/2=24個が答えになると思います。

*ご両人様、解説いただきグラッチェでっす♪