アットランダム≒ブリコラージュ

6770：任意の点までの距離が１以下の点の集合...

問題6770(友人問)

座標平面上の点の集合Sを

S={(a-b,a+b)|a,bは整数}

とするとき、次の命題が成り立つことを証明せよ。

(1)  座標平面上の任意の点Pに対し、Sの点QでPとQの距離が1以下となるものが存在する。

(2)  1辺の長さが2より大きい正方形は、必ずその内部にSの点を含む。

解答

・わたしの…

(1)

任意の点は、1x1の単位格子内に存在するので…

その正方形の頂点から一番遠い点は、対角線の交点であるが、√2/2<1 だから…

単位格子点になる点がSに含まれることを言えばいい…

(a-b,a+b),(a-b+1,a+b+1) という点で表されればいい…

p=a-b, q=a+b

a=(p+q)/2

b=(q-p)/2

偶奇の等しいp,qを選べば存在できる。

α:(p,q),β:(p+1,q),γ:(p+1,q+1), δ:(p,q+1) が単位格子の頂点なので…

δ-γ

 |    |

α-β

の関係は…

α-β-γ-δ

偶-奇-偶-奇

or

奇-偶-奇-偶

になるから…

α-γ or β-δ の点はどちらかのペアがSに含まれ…

題意は満たされた ^^

たとえば、

(1,1),(2,2)

a=1,b=0

(1,2),(2,3) なら,,,(2,2),(1,3) が満たす。

(2)

(1)のことから、任意の点を中心にして半径1の円内にはSの点が含まれるので…

また、その円は2x2の正方形に含まれるので、題意は証明された。 ^^

6769：角の３等分...直角三角形...

問題6769・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33802405.html より Orz〜

　∠A＝90ﾟ の △ABC において、辺AC上に Aの近い方から P，Q をとり、

　BP，BQが ∠Bの３等分線になるようにしました。

　AP：PQ＝7：8 ，△PBC＝3√15 のとき、３辺 PB，BC，CP の長さは？


☆ もとの問題では　AP：PQ：QC＝21：24：32 としていましたが、たけちゃんさんの指摘により、

　過剰な条件 PQ：QC＝24：32 を削り、AP：PQ＝7：8 としました。

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33826265.html より Orz〜

[解答1]

　ABに関して Pと対称な点を P' とします。

　BQは ∠PBCの２等分線だから PB：BC＝PQ：QC ，

　BPは ∠P'BCの２等分線だから P'B：BC＝P'P：PC 、

　PQ：QC＝P'P：PC 、PQ：QC＝2AP：(PQ＋QC) 、

　PQ：QC＝(2AP−PQ)：PQ＝6：8＝3：4 、PB＝3a，BC＝4a 、

　BPは ∠ABQの２等分線だから、AB：BQ＝AP：PQ＝7：8 となり、AB＝7b，BQ＝8b とおきます。

　また、AP：PQ＝7：8＝21：24 ，PQ：QC＝3：4＝24：32 だから、

　AP：PQ：QC＝21：24：32 です。

　次に、△BAQ：△BPC＝AQ：PC だから、

　7b･8b：3a･4a＝(21＋24)：(24＋32) 、b²＝(135/784)a² になり、

　△ABPで 三平方の定理より、AP²＝9a²−49b²＝9a²−49(135/784)a²＝(9/16)a² 、AP＝(3/4)a 、

　AP：PC＝21：(24＋32)＝3：8 だから、PC＝(8/3)AP＝(8/3)(3/4)a＝2a です。

　更に、△PBC＝PC･AB/2＝2a･7b/2＝7ab＝3√15 だから、

　49a²b²＝135 、49a²(135/784)a²＝135 、a⁴＝16 、a＝2 です。

　よって、PB＝3a＝6 ，BC＝4a＝8 ，CP＝2a＝4 です。 

[解答2]

　∠ABP＝θ とおけば tanθ：tan2θ＝7：(7＋8)＝7：15 です。

　tanθ：tan2θ＝tanθ：2tanθ/(1−tan²θ)＝(1−tan²θ)：2＝7：15 だから、

　15(1−tan²θ)＝14 、tanθ＝(√15)/15 ，tan2θ＝(15/7)tanθ＝(√15)/7 になります。

　tan3θ＝(tan2θ＋tanθ)/(1−tan2θtanθ)＝{22(√15)/105}/(1−1/7)＝11(√15)/45 です。

　よって、AP＝(√15)AB/15 ，AC＝11(√15)AB/45 ，PC＝8(√15)AB/45 になり、

　△PBC＝PC･AB/2＝4(√15)AB²/45＝3√15 だから、AB²＝135/4 、AB＝3(√15)/2 、

　AP＝(√15)AB/15＝3/2 ，AC＝11(√15)AB/45＝11/2 ，PC＝8(√15)AB/45＝4 です。

[解答3]

　∠ABP＝θ とおけば、BPは ∠ABQの２等分線だから、cos2θ＝BQ/BA＝PQ/PA＝21/24＝7/8 、

　cos²θ＝（1＋cos2θ)/2＝15/16 、cosθ＝(√15)/4 になり、

　cos3θ＝4cos³θ−3cosθ＝15(√15)/16−3(√15)/4＝3(√15)/16 になります。

　また、sin2θ＝√(1−cos²2θ)＝√(1−49/64)＝(√15)/8 です。

　ここで、BP＝AB/cosθ ，BC＝AB/cos3θ だから、

　BP：BC＝1/cosθ：1/cos3θ＝4/(√15)：16/(3√15)＝3：4 になり、

　BP＝3k，BC＝4k とおけば、1/cosθ：1/cos3θ＝4/(√15)：16/(3√15)＝3：4 になり、

　△PBC＝(1/2)･3k･4k･sin2θ＝6k²･(√15)/8＝3√15 だから、

　k＝2 、BP＝3k＝6，BC＝4k＝8 、

　余弦定理より、PC²＝6²＋8²−2･6･8cos2θ＝16 、PC＝4 です。

[参考]

　PB：BC：CP＝3：4：2 の 簡単な辺の比である△PBCにおいて、

　BからCPおろした垂線とBPの作る角が、∠B/2 になることは美しい関係だと思います。

　それを紹介するために作った問題です。

*たしかに面白い性質ですね☆

 わたしゃ…tanしか浮かばなかったり…^^;

AB=a
tan(α)=21/a
tan(2α)=2*(21/a)/(1-(21/a)^2)=45/a
a=21√15
21√15*77*t^2=6√15*(77/56) 
t=1/14
a=3√15/2, AC=11/2

PB=√((3√15/2)^2+(11/2)^2*(21/77)^2)=6
BC=√((3√15/2)^2+(11/2)^2)=8
CP=(11/2)*(56/77)=4

6768：場合の数...得点の分布...

問題6768・・・算チャレ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

マサルさん、トモエさん、マサヒコくん、ツヨシくんの４人が、１０点満点の小テストを受けました。

その結果、


・トモエさんは最高得点で、８点以下。
・マサルさんは最低得点で、１点以上。


・マサヒコくんは、マサルさんの点数以上、トモエさんの点数未満。


・ツヨシくんは、マサルさんの点数より高く、トモエさんの点数以下。


であることが分かりました。

このとき、４人の得点パターンは何通り考えられるでしょうか。


解答

上記サイトより Orz〜

・わたしの…

8C4*2+8C3*3+8C2

=70*2+56*3+28

=140+168+28=336

・みかんさんのもの Orz〜

マサルとトモエの点差を基準に考えると

７点差→４９通り

６点差→３６通り

５点差→２５通り

４点差→１６通り

３点差→９通り

２点差→４通り

１点差→１通り

といった具合になる。

マサルが１点の場合〜７点の場合を個別に足し算すると

１４０＋９１＋５５＋３０＋１４＋５＋１＝３３６通り。

・友人からのもの…

(A)　1<=a<=b<d<=8

(B)　1<=a<c<=d<=8

を共に満たす（b,cは無関係）整数a,b,c,d　を求めることである

等号に気をつけて、a,bの等号を左の等号c,dの等号を右の等号とする

(A)  を満たす場合を求めて、これにcを入れ込む。

(A)  の場合の数は、a以下を1つ左によせれば、等号が消えて

元に戻せば(A)が得られるから、9C3=84とおり　

cは例えばa=3,d=6なら3とおりとなる

(A)  を満たすすべての場合、cは1とおりから7とおりまで

ばらばらにあるから平均4通りあると考えてよい

よって84*4=336　通り

*熟読玩味ぃ〜^^;