アットランダム≒ブリコラージュ

8018：場合の数…2枚のカードの差の和...

問題8018・・・http://www.sansu.org/kakomon/toi170.html より 引用 Orz〜

あるクラスで、カードを使ったゲームをしました。
　

まず、クラス人数の２倍の枚数のカードを用意し、１から順に通し番号を記入しました。

次に、生徒たちに２枚ずつカードを配ります。
　

生徒は、受け取った２枚のカードの番号の差を自分の得点とします。

例えば、１４番と２３番のカードを受け取ったなら、得点は２３−１４＝９点となります。
　

このとき、全員の得点の和は、最も大きいときで４００点になります。
　

では、全員の得点の和は、全部で何通り考えられるでしょうか。

解答

・わたしの…

4人なら…2*((4-1)+(3-2))=2*4=8

6人なら…2*((6-1)+(5-2)+(4-3))=18

つまり…

大きい数から小さい数を引いた和…

これは…

2*((4-2)+(3-1)),

2*((6-3)+(5-2)+(4-1)) でも同じ…

つまり…

最大が400とは、2m人のとき、

(2m-m)=mがm個のm^2の2倍の2m^2=400ということ…

but…そんなものはない…???

2m+1人のとき…が抜けてた…^^;

5人のとき…

2*((5-1)+(4-2))=12…2*((5-2)+(4-1))

7人のとき…

2*((7-1)+(6-2)+(5-3))=24…2*((7-3)+(6-2)+(5-1))

つまり…奇数人のとき2m+1人…は…

2*(m+1)m=400

も解なし…???

↑

勘違いぃ〜…^^; Orz

↓

・あちゃさんからのもの Orz〜

4人なら、点差は(8-1)+(7-2)+(6-3)+(5ｰ4)＝16点が最大？

*そうでしたぁ ^^;…

・たけちゃんさんからのもの Orz〜

点差の最大は，あちゃさんの言われる通りですね．
ただし，4人の場合，点差を最大にする方法はたくさんあり，
例えば(5-1)+(6-2)+(7-3)+(8-4)もその一例です．
要するに，クラスの人数をnとするとき，1〜n(下半分)，n+1〜2n(上半分)について，
各人の大きい方の数がすべて上半分に入るときが点差の合計は最大で，
((n+1)-1)+((n+2)-2)+…+(2n-n)と考えれば，最大がn^2であることは明白です．

n^2=400より，人数は20人．
よって，各人の大きい方の数の和は，最大で，21+22+…+40=610です．
一方，点差の和の最小値は，(2-1)+(4-3)+…+(2n-(2n-1))=nであり，
このとき，各人の大きい方の数は{2,4,6,…,40}であり，その和は20*21=420.
ここから，大きい方の数の和を1ずつ増やしていくことができます．←ここが肝ね☆
(2→3,4→5,3→4,6→7のように)
すると，大きい方の数の和は610-420+1=191(通り)あることになり，
これが得点の和の場合の数になります．

*大きい方の数を+1ずつ増やすと、差は+2ずつになるから…

(400-20)/2=190

最初の、20の１個を加えて191通りと考えてもいいですね ^^v

・鍵コメT様から届いてましたぁ ^^; Orz〜

結局，点数の和は，20から400までの偶数なので，380/2+1の191通りですね．

*了解ぃ〜☆

お気に入り♪

8017：条件を満たす10桁の数...

問題8017・・・Crying Dorphinさんのサイト http://cdcdcd.sansu.org/pika/J.htm より Orz〜

０から９までの異なる数字の書かれたカードが１枚ずつ、計１０枚あります。
次の条件に従って整数を作ります。

【条件】１０枚のカードすべてを１列に並べて、１０けたの整数をつくる。

 

いま、この条件を満たす『整数Ｘ』をつくりました。
次に、条件を満たす整数のうち、『整数Ｘ』に次ぐ大きい整数を『整数Ｙ』としました。
そして、『整数Ｘ』と『整数Ｙ』のそれぞれの位の数字を比べたとき、１０か所のうち何か所異なっているのかを調べました。(※注)

位の数字の異なっている所が最も多くなるような『整数Ｘ』を求めてください。
ただし、答えが複数ある場合は、その中で最も大きいものを答えてください。

※注

例えば、整数Ｘを２４８０１７９５６３とすると、

それに次ぐ大きな整数Ｙは２４８０１７９５３６ですから、

それぞれの位の数字を比べると、一の位と十の位の２か所違っていますね。

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

やっと気付けたぁ ^^;v

8016：場合の数...50円ショップ...

問題8016・・・http://www.sansu.org/kakomon/toi170.html より 引用 Orz〜

マサルさんの経営する店は、１個５０円の商品だけを売っている「５０円ショップ」です。
　

ある朝、開店してみると、５０円玉が１枚もないことに気づきました。

これではおつりを出すことが出来ません。
　

結局この日は、５０円玉しか持っていない人と１００円玉しか持っていない人が同数だけ来たのですが、うまい具合にお客さんが来てくれたので、１００円玉しか持っていない人に「おつりがないからお断り」はしないで済んだそうです。
　

このとき、例えば全部で４人のお客さんが来店したとすると、

マサルさんの硬貨の受け取り方は、


Ａ.５０円玉→　５０円玉→１００円玉→１００円玉
　　　　

Ｂ.５０円玉→１００円玉→　５０円玉→１００円玉
　

の２通りが考えられますね。
　

さて、全部で１０人のお客さんが来たとすると、マサルさんの硬貨の受け取り方は何通り考えられるでしょうか。


注・・・１人のお客さんは１個の商品だけを買うものとします。また、５０円玉、１００円玉以外の硬貨・紙幣は全く持ってないものとします。

解答

・わたしの…

これは有名なカタラン数ですね ^^

*http://ja.wikipedia.org/wiki/カタラン数 より Orz〜

「カタラン数（ Catalan number）は、自然数のうち、ベルギーの数学者ウジェーヌ・カタランにちなんで名付けられた数である。n番目のカタラン数 C_n は以下の式で定義される。

http://upload.wikimedia.org/math/d/3/c/d3c5e7e2eab1743094421b907864b423.png

1番目のカタラン数から順に列記すると

1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845,…

平面グラフの交差

2n人が円になって手を交差させないで握手をする場合の数はカタラン数C_nである。」

↑

*2n人の円順列 (2n)!/(2n)=(2n-1)! とどこが違うのかわからない…^^;…?

↑

*鍵コメH様からご教授いただきましたぁ〜m(_ _)m〜v

↓

凸多角形の三角形分割と同じ考え方ではないでしょうか

*日本語って難しい…^^;…Orz〜

8015：裁ち合わせ算...

問題8015・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34948995.html より Orz〜

　図のように、正方形を合同な２つの部分に分け、並べかえて、長方形の穴のあいた長方形にします。

　穴の面積を 40 とするとき、切る折れ線の長さ(赤の線の長さ)が最も短い正方形の１辺は？

　また、その正方形を切る折れ線の長さは？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34971507.html より Orz〜

[解答1]

　図のように、正方形の１辺を 4d ，

　切る折れ線の長さを L ，そのうち 横の線の長さを a＋b，b，b＋a とします。

　まず、L＝2a＋3b＋2d＝4d−b＋3b＋2d＝2b＋6d 、よって b＝L/2−3d です。

　正方形の１辺は 2a＋b＝4d 、よって a＝2d−b/2＝2d−(L/2−3d)/2＝7d/2−L/4 です。

　また、穴の面積は (a＋2b)d＝40 だから、{(7d/2−L/4)＋2(L/2−3d)}d＝40 、

　{(14d−L)＋2(2L−12d)}d＝160 、10d²−3Ld＋160＝0 になります。

　これを d の２次方程式とみて、d が実数であれば、解と係数の関係より d＞0 になります。

　判別式は (3L)²−6400≧0 だから、L≧80/3 で、最小の L は、L＝80/3 です。

　このとき、10d²−3Ld＋160＝0 より、

　10d²−80d＋160＝0 、(d−4)²＝0 、d＝4 、正方形の１辺は 4d＝16 です。

　なお、a＝7d/2−L/4＝7･4/2−80/3/4＝22/3，b＝L/2−3d＝80/3/2−3･4＝4/3 になります。


[解答2]

　図のように、正方形の１辺を 4d ，

　切る折れ線の長さを L ，そのうち 横の線の長さを a＋b，b，b＋a とします。

　まず、L＝2a＋3b＋2d＝4d−b＋3b＋2d＝2b＋6d 、よって b＝L/2−3d です。

　正方形の１辺は 2a＋b＝4d 、よって a＝2d−b/2＝2d−(L/2−3d)/2＝7d/2−L/4 です。

　また、穴の横の長さは a＋2b＝40/d だから、(7d/2−L/4)＋2(L/2−3d)＝40/d 、

　14d−L＋4L−24d＝160/d 、3L＝10(d＋16/d)≧10･2√(d･16/d)＝80 、

　これは、d＝16/d すなわち d＝4 のとき L の最小値が 80/3 を表します。

　正方形の１辺が 4d＝16 のとき、折れ線の長さの最小値は 80/3 です。

*同じように…^^v

パズルチックな面白い問題ね☆

ただ、文字数を少なくして…

合同より…縦は4xと表せ、上の赤線の右端から右辺までの距離をyと表すと…

中にできる長方形の面積：(8x-3y)*x=40
折れ線の長さ：14x-4y
と表せるので…
y=(8x^2-40)/(3x) を代入して、
7x-2y=7x-(16x^2-80)/(3y)
=(5x^2+80)/(3x)
=(5/3)*x+(80/3)*(1/x) >=2√(400/9)=40/3
等号は、(5/3)*x=(80/3)*(1/x)…x^2=16…x=4
つまり、正方形の１辺の長さ=16
折れ線の最短の長さ=80/3

同工異曲…^^;

折れ線がMaxのときは…8d^2=40…正方形の1辺=4√5
折れ線の長さ=14√5 に限りなく近づいた値になりますのよね ^^
最短の折れ線の長さだけなら…6d
このときは，真ん中にスペースができない…
から…

中心からxだけ伸ばすと…d(4d+2x-(2d-x))=d(2d+3x)=40
折れ線の長さ=6d+4x=6d+(4/3)(40/d-2d)=(10/3)d+(160/3)(1/d)
>=2*40/3=80/3
等号は、(10/3)d=(160/3)(1/d)…d=4

8014：遠足算...

問題8014・・・http://www.sansu.org/kakomon/toi179.html より 引用 Orz〜

ある長距離徒歩大会（なんじゃそりゃ...）に出場したマサル君、トモエさん、ツヨシ君はそれぞれ毎時３km、毎時４km、毎時５kmで歩くことにしました。
　この大会では、コース脇に「あと○km」という標識がスタートから１kmごとに表示されています。
　

それを見ながら歩いていたマサル君は、「あ、スタートからの経過時間（単位：時間）と残りの距離が同じだ....。」とあるときに思ったそうです。また、トモエさん、ツヨシ君もそれぞれ同じこと道中に思ったそうです。
　

さて、この大会は、全長何kmの距離を歩くことになっていたのでしょうか。

考えられる距離の中で最短のものを答えてください。

解答

・わたしの…

3a+a=4b+b=5c+c

4,5,6の最小公倍数…で、60 km ね ^^