アットランダム≒ブリコラージュ

8278：△ABC内部の点P…Min(AP+BP+CP)=?

宿泊先のホテルの隣の喫茶店でモーニングコーヒーがぶ飲みぃ〜^^

問題8278・・・みっちの隠れ家  http://micci.sansu.org より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

これは有名な点ですよね☆

8277：正三角形内の線分の長さ...

宿泊先のホテルも/世間もXmasモードに突入〜〜〜ね ☆

問題8277・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35137653.html より Orz〜

　正三角形ABCの 辺AB上に点P，辺BC上に点Q，辺CA上に点R があり、

　QB＝8，QC＝4，QR＝6，∠PQR＝30ﾟ であるとき、AP＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35156875.html より Orz〜

[解答1]

　A(0，6√3)，B(−6，0)，C(6，0) とすれば、Q(2，0) で、

　AB：y＝(x＋6)√3 ，AC：y＝(−x＋6)√3 になり、R(r，(−r＋6)√3) とします。

　QR² は、(r−2)²＋｛(−r＋6)√3｝²＝36 だから、

　r²−4r＋4＋3(r²−12r＋36)＝36 、r²−10r＋19＝0 、

　0＜r＜6 だから r＝5−√6 になり、QRの傾きを m とすれば、

　m＝(−r＋6)(√3)/(r−2)＝(1＋√6)(√3)/(3−√6)＝(1＋√6)/(√3−√2)

　 ＝(1＋√6)(√3＋√2)＝3√3＋4√2 、

　PQの傾きは、

　(m＋tan30ﾟ)/(1−m･tan30ﾟ)＝(m√3＋1)/(√3−m)＝(10＋4√6)/(−2√3−4√2)

　 ＝−(5＋2√6)/(2√2＋√3)＝−(5＋2√6)(2√2−√3)/5＝−(4√2＋3√3)/5 になって、

　PQ：y＝−(4√2＋3√3)(x−2)/5 になります。

　Pのｘ座標 x は、AB：y＝(x＋6)√3 を連立させて、

　−(4√2＋3√3)(x−2)/5＝(x＋6)√3 、−(4√2＋3√3)(x−2)＝5(x＋6)√3 、

　−(4√2＋3√3＋5√3)x＝30√3−2(4√2＋3√3) 、−(8√3＋4√2)x＝24√3−8√2 、

　−x＝(24√3−8√2)/(8√3＋4√2)＝(3√6−2)/(√6＋1)＝(3√6−2)(√6−1)/5＝4−√6 、

　AP＝−2x＝8−2√6 です。


[解答2]

　△PBQで正弦定理より 8/sin∠BPQ＝PQ/sin60ﾟ 、sin∠BPQ＝4(√3)/PQ で、

　△RQCで正弦定理より 4/sin∠QRC＝6/sin60ﾟ 、sin∠QRC＝(√3)/3 です。

　∠BPQ＋∠QRC＝90ﾟ だから、sin²∠BPQ＋sin²∠QRC＝1 、

　48/PQ²＋1/3＝1 、48/PQ²＝2/3 、PQ²＝72 です。

　△PBQで余弦定理より PQ²＝BQ²＋BP²−2･BQ･BPcos60ﾟ 、

　72＝64＋BP²−8BP 、BP²−8BP−8＝0 、BP＝4＋2√6 、

　AP＝8＋4−(4＋2√6)＝8−2√6 です。


[解答3]

　QからPBにおろした垂線の足をG，QからRCにおろした垂線の足をH とします。

　QC：QR＝4：6＝2：3 、QC：QH＝2：√3 だから、QH：QR＝√3：3＝1：√3 ですので、

　三平方の定理により、QH：RH＝1：√{(√3)²−1²}＝1：√2 です。

　BQ：QG：GB＝2：√3：1 だから、8：QG：GB＝2：√3：1 、QG＝4√3 ，GB＝4 です。

　∠BPQ＋∠QRC＝90ﾟ だから、△PQG∽△QRH 、PG：QG＝QH：RH 、PG：4√3＝1：√2 、

　PG＝2√6 、AP＝12−PG−GB＝12−2√6−4＝8−2√6 です。

*これは、∠BPQ＋∠QRC＝90ﾟ　に気付けず…^^;

立式だけでPCに解かせてしまいましたぁ…Orz

[解答2]のように解けるようになりたいなぁ☆

CR^2+4^2-4*CR=6^2
から、CR=2+2√6・・・AR=10-2√6
AP=x, PR=y, PQ=z とすると…
(10-2√6)^2+x^2-(10-2√6)*x=y^2=6^2+z^2-6√3*z
z^2=8^2+(12-x)^2-8(12-x)
これを計算させると…Orz
x=AP=8-2√6 
y=6√(3-√6), z=6√2

8276：自分から一番近い街を訪れる...

夜食用に買い込んだんだけど...量たっぷりあり過ぎ…☆

腹ふくるるなり...ちと苦しぃわ…^^;

問題8276(友人問)

ある国にちょうど9つの町があって、まちどうしの距離はすべて異なる。

それぞれの町を1人の人が出発して、一番近い町に向かって歩く。

次を証明せよ。

(a)    Aという町から来た人がBという町へ向かい、Bから来た人がAへ向かう

　　ような2つの町AとBが存在する。

(b)    誰も向かう人のいない町が存在する。

解答

練習もせず...友人からのメールの問題を考えたりしてる…^^;

類似問が今までにもでてるはず…^^

・わたしの…

3つ以上のサークルは存在しない…

もしあれば…

(AB)>(BC)>(CA)・・・(BC)>(CA)=(CA)>(BC) は矛盾…

また、(AB)=(BC) も無いので…

1：多　のグループが独立して存在するしかなく、

その1(A)から最短の街Bの存在は少なくとも1ペア存在する。

また、多のB以外の街は…他のどの街からも訪問者はいないことが言える。

^^