アットランダム≒ブリコラージュ

弧の長さを使った扇型の面積の公式…☆

画像：http://manabi.matiralab.com/menseki_ougi/ より 引用 Orz〜

これって...円の面積を求めるときの発想と同じですよね☆

微小な△に無限に分けて…

底辺*高さ/2=(弧の長さ l * 半径 r )/2)

 

^^

同じく…

「円すい展開図・側面積の公式 の求め方」...

画像：http://manabi.matiralab.com/ensui-tenkai002/ より 引用 Orz〜

側面積って…扇型だから…

底辺=2πr

高さ=R

円錐の側面積=微小な△の和=2πr*R/2=π*r*R

^^

栞…☆

枯れ葉が無造作にゴミ箱に捨て置かれてる…^^;

わたしはそれを海岸の貝殻を探すように拾い集める…

本の裏の方に入れて持って帰った…

で、思った…

こんな奇麗な自然の造形を樹脂に浸したら…

素敵な栞として使えそうじゃないかなぁって…^^☆

8308：旧跡...正八角形...

問題8308・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35153683.html より Orz〜

　１辺の長さが 1 の正八角形とその対角線について、

　対角線は20本ありますが、図の赤，緑，橙で表された３種類の長さのものがあります。

(1) １辺の長さが 1 の正八角形の面積は？

(2) 赤の長さの対角線８本でできる図の正八角形の面積は？

(3) 緑の長さの対角線８本でできる図の正八角形の面積は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35174205.html より Orz〜

[準備]

　正八角形のひとつおきの辺を延長してできる正方形を描けば、

　正八角形の頂点は、その正方形の辺を 1：√2：1＝1/√2：1：1/√2 に分けることになります。

　従って、正方形と正八角形の辺の比は、(√2＋1)：1＝1：(√2−1) です。


[解答1]

(1) １辺の長さが 1 の正八角形は １辺の長さが 1＋√2 の正方形から、

　　斜辺の長さが 1 の直角二等辺三角形４個を除いたもので、

　　斜辺の長さが 1 の直角二等辺三角形４個を集めると１辺の長さが 1 の正方形ができるので、

　　１辺の長さが 1 の正八角形の面積は (1＋√2)²−1＝2(√2＋1) です。

(2) 赤の対角線の長さを a とすれば、

　　a²＝(1/√2＋1)²＋(1/√2)²＝1/2＋√2＋1＋1/2＝2＋√2 、

　　正八角形の１辺は (√2−1)a だから、

　　面積は 2(√2＋1)･(√2−1)²a²＝2(√2＋1)･(√2−1)²(2＋√2)＝2√2 です。

(3) 正八角形のひとつおきの辺を延長してできる正方形の１辺は 1 だから、

　　正八角形の１辺は √2−1 であり、

　　面積は 2(√2＋1)･(√2−1)²＝2(√2＋1)･(√2−1)²＝2(√2−1) です。

(2) 赤の対角線の長さを a とすれば、

　　a²＝(1/√2＋1)²＋(1/√2)²＝｛(1＋√2)²＋1²｝/2 だから、

　　面積は (1)と(3)の平均で、｛2(√2＋1)＋2(√2−1)｝/2＝2√2 になります。


[解答2]

(1) １辺の長さが 1 の正八角形は １辺の長さが 1＋√2 の正方形から、

　　斜辺の長さが 1 の直角二等辺三角形４個を除いたもので、

　　斜辺の長さが 1 の直角二等辺三角形４個を集めると１辺の長さが 1 の正方形ができるので、

　　１辺の長さが 1 の正八角形の面積は (1＋√2)²−1＝2(√2＋1) です。

(2) １辺の長さが 1 の正八角形から水色(または黄色)の三角形８個を除いたものです。

　　この三角形の底辺をもとの正八角形と共有する辺とすれば、高さは、

　　(1/√2)･(1/√2＋1)/(1/√2＋1＋1/√2)＝(1/√2)･(1＋√2)/(1＋√2＋1)＝1/2 、

　　面積は 2(√2＋1)−8･(1/2)･1･(1/2)＝2√2 です。

(3) １辺の長さが 1 の正八角形から水色(または黄色)の直角二等辺三角形８個を除いたものです。

　　面積は 2(√2＋1)−8･(1/2)＝2(√2−1) です。

*わたしゃ…[解答1]の方で…^^

半径Rとして…
2R^2*(1-cos45°)=1・・・R^2=1/(2-√2)=(2+√2)/2
赤の正方形の面積=(2R)^2/2=2R^2
元の正八角形の正方形の面積=(1+√2)^2
(1) 元の正八角形の面積：S
=(1+√2)^2-4*(1/√2)^2/2=2+2√2=2(1+√2)
(2) 赤の正八角形=S*(2+√2)/(1+√2)^2=2(2+√2)/(1+√2)
=2√2
(3)緑の正八角形=S*(1/(1+√2)^2=2/(1+√2)=2√2-2

8307：場合の数…カード配り...

昨日の研究会のホテルで写メ ^^

問題8307・・・算チャレ！！  http://www.sansu.org より Orz〜

１、２、３、４が書かれたカードが２枚ずつ、合計８枚あります。
このカードをよく切って（＝混ぜて）、
マサルさん→トモエさん→マサヒコさん→フジヤマさん→マサルさん→トモエさん→マサヒコさん→フジヤマさん
という順番で配ります。
このとき、同じカード２枚を持っている人が誰もいないような配り方は何通りあるでしょうか。

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

やっと入れましたぁ ^^;v