アットランダム≒ブリコラージュ

8323：２個の交わる円内の△...

問題8323・・・浮浪さんのサイト「浮浪の館」http://homepage1.nifty.com/Hagure/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

8322：4点を通る円...

問題8322・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35160381.html より Orz〜

　BC：CA：AB＝√5：√2：1 の △ABCがあり、辺BCの中点をMとします。

　P，M，Q が一直線上にあり、P，B，Q，C が同一円周上にあるように、

　ABの延長上に点P，AC上に点Qをとります。

　P，B，Q，C を通る円の半径が 58 のとき、辺BC の長さは？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35181160.html より Orz〜

[解答1]

　BM＝MC＝(√5)k，CA＝(2√2)k，AB＝2k とすれば、パップスの中線定理より、

　AB²＋AC²＝2(AM²＋BM²) だから、

　4k²＋8k²＝2(AM²＋5k²) 、AM＝k になります。

　よって、∠BAM＝90ﾟ になります。

　また、BA：AM＝2：1＝BC：CM より、ACは ∠BAM の外角の二等分線、∠MAC＝45ﾟ になります。

　次に、AP＝x＞2k とすれば、PQ：QM＝PA：AM＝x：k だから、PM：MQ＝(x−k)：k 、MQ＝kPM/(x−k) 、

　方べきの定理により、MP･MQ＝MB･MC 、kPM²/(x−k)＝5k² 、PM²＝5k(x−k) 、

　x²＋k²＝5kx−5k² 、x²−5kx＋6k²＝0 、

　(x−2k)(x−3k)＝0 、x＞2k だから x＝3k となり、AP＝3k，BP＝k です。

　ここで、sin∠MBA＝1/√5，cos∠MBA＝2/√5 だから、sin∠PBC＝1/√5，cos∠PBC＝−2/√5 です。

　余弦定理より、PC²＝BP²＋BC²−2･BP･BC･cos∠PBC だから、

　PC²＝k²＋20k²＋2･k･(2√5)k(2/√5)＝29k² 、PC＝(√29)k 、

　△BPCの外接円の半径は PC/(2sin∠PBC)＝(√29)k/(2/√5)＝(√5)k(√29)/2＝58 、

　(√5)k＝2･58/√29＝4√29 、BC＝(2√5)k＝8√29 です。


[解答2]

　k＞0 として A(0，0)，B(−k，0)，C(k，k) とすれば、

　BC＝(√5)k，CA＝(√2)k，AB＝k になり、M(0，k/2) です。

　また、0＜q＜k＜p として P(−p，0)，Q(q，q) (p＞k，0＜q＜k) とすれば、

　P，M，Q が一直線上にあるので、PM，MQ の傾きが等しくなり、

　(k/2)/p＝(q−k/2)/q 、2p をかけて k＝(2q−k)p/q です。

　また、P，B，C，Q を通る円の中心をRとすれば、

　Rは PB，BC の垂直二等分線 x＝(−p−k)/2，y＝−2x＋k/2 の交点で、R(−p/2−k/2，p＋3k/2) になり、

　RQ²＝RB² より

　(q＋p/2＋k/2)²＋(q−p−3k/2)²＝(−p/2＋k/2)²＋(p＋3k/2)² 、

　(q＋p/2＋k/2)²−(−p/2＋k/2)²＋(q−p−3k/2)²−(p＋3k/2)²＝0 、

　(q＋k)(q＋p)＋q(q−2p−3k)＝0 、2q²−pq−2kq＋kp＝0 、(2q−p)(q−k)＝0 、　

　p＝2q 、p/q＝2 になります。

　k＝(2q−k)p/q に代入して k＝2(2q−k) 、q＝3k/4 、したがって p＝3k/2 です。

　RB²＝(−p/2＋k/2)²＋(p＋3k/2)²＝(−k/4)²＋(3k)²＝145k²/16 、

　これが円の半径の２乗だから、145k²/16＝58² 、5k²＝16･58²/29＝16･4･29 、

　BC＝(√5)k＝4･2･√29＝8√29 になります。

*これは…[解答1]に近かったけど...わたしのは計算が煩雑でしたわ ^^;

cosA=-1/√5
cosB=2/√5
cosC=3/√10
PM/sinB=(√5/2)/sinC・・・PM=√10/2
QM/sinC=(√5/2)/sinB・・・QM=√10/4
BP^2+(√10/2)^2-2*BP*(√10/2)*cosC=(√5/2)^2・・・BP=1/2
PC^2=(1+1/2)^2+(√2)^2-2*(3/2)*√2*cosA
=29/4
PC^2=BP^2+(√5)^2-2*BP*√5*cosP・・・cosP=2/√5
sinP=1/√5
PC/sinB=2*58
BC=PC*(√5/(√29/2))
=2*58*sinB*√5*2/√29
=4*58/√29
=232/√29 
=8√29