8360：和差算…名作らしい...

問題8360・・・http://chosen-sansu.tokeruka.net/?p=3945 より引用 Orz～

重さの違うＡ，Ｂ，Ｃの３種類の玉があり、重い方からＡ，Ｂ，Ｃの順になっています。Ａ，Ｂ，Ｃの３種類の玉を必ず１つ入れて５個の玉を袋に入れると、重さの違う袋が５通りできました。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）Ａを３個、Ｂを１個、Ｃを１個選んだときを、（３，１，１）のように表すことにします。同じ重さになる玉の入れ方がありますが、それは３種類の玉をどのように選んだときか答えなさい。

（２）５通りの袋のうち、２番目に重い袋は７９ｇ、４番目に重い袋は７１ｇでした。Ａ，Ｂ，Ｃの玉はそれぞれ何ｇか答えなさい。

（武蔵中学　２００９年）

解答

・わたしの…

(1)

3H2=4C2=6 なのが、5通りしかできない…

A<B<C

(1,1,3) > (1,2,2) > (2,1,2)= (1,3,1) > (2,2,1) > (3,1,1)

の場合しか考えられない…ここが一意に決定できるところが上手くできてますねぇ☆

(2)

(1,2,2)=79

(2,1,2)=(1,3,1)

(2,2,1)=71

C-A=8

A+C=2B

C=B+4, A=B-4

2(B-4)+2B+B+4=71

5B=75・・・B=15, C=19, A=11

ってことね ^^

8359：菱形十二面体の体積...

問題8359・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35177112.html より Orz～

　１辺の長さが 3 で対角線の長さの比が 1：√2 である菱形 12枚でできる十二面体の体積は？

　十二面体の頂点には菱形の鋭角は４個，菱形の鈍角は３個集まっています。

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35197422.html より Orz～

[解答1]

　菱形を４個の直角三角形に分けたら、辺の比は 1：√2：√3 だから、辺の長さは √3，√6，3 、

　菱形短い方の対角線で２つに分けた二等辺三角形の辺の長さは 3，3，2√3 です。

　この二等辺三角形４枚を側面とする正四角錐６個を頂点の所で集めると１辺が 2√3 の立方体になり、

　更に、この立方体の各面に同じ正四角錐を付けると問題の十二面体ができます。

　従って、求める体積は１辺が 2√3 の立方体の体積の２倍で、

　2･(2√3)³＝48√3＝8．313843876…… です。

[解答2] uch*n*anさんのコメントより

　菱形を４個の直角三角形に分けたら、辺の比は 1：√2：√3 だから、辺の長さは √3，√6，3 、

　菱形の対角線の長さは、2√3，2√6 です。

　そしてこの立体を３辺が 2√6，2√6，2√3 となる直方体と比べると、

　かどの欠けた部分とピンクで示した飛び出している部分の底面と高さが同じで体積が同じなので、

　求める体積＝2√6･2√6･2√3＝48√3＝8．313843876…… です。

☆ この立体を「菱形十二面体」といいます。

*最後の立体図がイメージできればよかったんだけど…^^;

気付けませんでしたぁ…

美しいフォルムですねぇ♪

*uch*n*anさんの発想から...四角錐の高さ=√(3^2-(√6)^2)=√3 になるから…立方体の中心に凹になってるものを凸にしたと考えてもいいですね→2*立方体♪