アットランダム≒ブリコラージュ

ウォルステンホルムの定理の証明^2

画像：http://www.oreilly.co.jp/books/9784873113807/ より 拝借 Orz〜

面白い問題ですね♪

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1106_p.htm より 引用 Orz〜

「ウォルステンホルムの定理（１８６２年）

（Ｑ）ｐ＞３が素数ならば，既約分数

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）

の分子はｐ^2で割り切れることを証明せよ（１８６２年）．

＊ウォルステンホルムの定理の別証明

（ｐ−１）！とｐは互いに素であるから

Ｓ＝（ｐ−１）！（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１））

がｐ^2で割り切れることと

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）＝０　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

は同値である．

ｍｏｄ算術を扱う場合，１／２のような数はある整数と同値である．

*ここがよく分からない？...どうしてそう言えるんだろ？…^^;

たとえば，

　　１／２＝６／２＝３　　（ｍｏｄ　５）

　　１＋１／２＋１／３＋１／４＝１＋１３＋１７＋１９＝０　　（ｍｏｄ　２５）

*1/2=x…2x-1=25…x=13

1/3=x…3x-1=25*2…x=17

1/4=x…4x-1=25*3…x=19

って求めてるようね…^^…?

素数ｐによる整除性ではなく，素数の平方ｐ^2による整除性なのでかなり難しい問題である．

そこで，素数による整除性の問題に帰着させてより解きやすいものにしたい．そこでまず

　　１＋１/２＋１/３＋・・・＋１/（ｐ−１）＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

を証明しよう．

　　１＋１/２＋１/３＋１/４＝１＋３＋２＋４＝０　　（ｍｏｄ　５）

であるが，

　　４＝−１，３＝−２　　（ｍｏｄ　５）

を使えば，

　　１＋１/２＋１/３＋１/４＝１−２＋２−１＝０　　（ｍｏｄ　５）

同様に，

　　ｐ−１＝−１，ｐ−２＝−２，・・・　　（ｍｏｄ　ｐ）

であるから

　　１＋１/２＋１/３＋・・・＋１/（ｐ−１）＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

を証明することができる．

　

次に，１/１と１/（ｐ−１），１/２と１/（ｐ−２），・・・をペアに組ませると

１＋１/２＋１/３＋・・・＋１/（ｐ−１）　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

＝１＋１/（ｐ−１）＋１/２＋１/（ｐ−１）＋・・・＋１/（ｐ−１）/２＋１/（（ｐ＋１）/２）

＝ｐ（１/（ｐ−１）＋１/２（ｐ−２）＋・・・＋１/（(ｐ−１）/２)*（ｐ＋１）/２）　　

（ｍｏｄ　ｐ^2）

　したがって，

１/（ｐ−１）＋１/２（ｐ−２）＋・・・＋１/（(ｐ−１）/２)*（ｐ＋１）/２)＝０　　

（ｍｏｄ　ｐ）

　　ｐ−１＝−１，ｐ−２＝−２，・・・　　（ｍｏｄ　ｐ）

であるから，

　１/１^2＋/２^2＋１/３^2＋・・・＋１/（ｐ−１）^2＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

が成り立つことをを示しさえすればよい．

*項数は(p-1)/2個になっているはずでは…？

１/１^2＋/２^2＋１/３^2＋・・・＋１/（ｐ−１）^2

＝１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋（ｐ−１）^2＝（ｐ−１）ｐ（２ｐ−１）/６＝０　　

（ｍｏｄ　ｐ）

となって証明了．」

↑

鍵コメT様からの解説を頂戴しました〜m(_ _)m〜

↓

私はこの文脈で「同値」ということばは使いませんが，
概ね次のようなことだと思います．

[1] 割り算の意味から
そもそも「a/b」とは，方程式bx=aの解を意味します．
これの類推で，合同式の文脈では，bx≡a を満たす整数xの意味で
a/b との表記を用いることもあり得ます．
この表記を用いる場合，例えば
mod5で「1/2」とは，3 (もちろん8とか-2でも同じ)であり，
mod25で「1/3」とは，17 となります．

[2] 合同の意味から
以下，法pは整数とします．通常の整数について，
a≡b (mod p) は，「a-bがpで割り切れること」を意味します．
これを拡張して，有理数について，x≡y (mod p)を，
「x-yを既約分数にしたとき，分子がpで割り切れること」と考えることにすると，
x≡yのとき，x-yの分母は，pと互いに素であり
(分子がpの倍数で，既約分数なので，pと分母は，1より大きい公約数をもたないから)
この意味でx≡y,z≡wであれば，x+z≡y+wとなることがわかります．
(pa/b+pc/d=p(ad+bc)/(bd)で，bdはpと互いに素より，約分しても分子のpは残るので)

[2] の解釈によれば，mod25で，
1/2≡13,1/3≡17,1/4≡19 であり，
1+1/2+1/3+1/4≡1+13+17+19となりますね．

*後半の疑問も解消♪

　↓

・鍵コメT様からのもの〜m(_ _)m〜グラッチェ☆

mod p において，k^2≡(p-k)^2なので，
1/1^2+1/2^2+…+1/(p-1)^2 の前半と後半は，逆順で同じものです．
1/1^2+1/2^2+1/3^2+…+1/(p-1)^2=0 を示せば，前半=0はすぐ言えます．

ただ，

「mod p^2 で，
2(1+1/2+1/3+…+1/(p-1))
=(1+1/(p-1))+(1/2+1/(p-2))+…+(1/(p-1)+1)
=p/(1(p-1))+p/(2(p-2))+p/(3(p-3))+…+p/((p-1)1)
=p(1/(1(p-1))+1/(2(p-2))+1/(3(p-3))+…+1/((p-1)1))」

とする方が見やすいかもしれませんね．

*納得です☆

証明はその辺りが略されてましたのねぇ…^^;…

わたしのレベルでは...そこが謎でしたぁ…^^;;…Orz〜

鼻詰まり.../鼻閉...

風邪でも花粉症でも効くのかどうか確認してませんが…^^;

いろんな方法があるものね ^^

http://matome.naver.jp/odai/2135111991183756401

【花粉症の人のための】鼻づまりをあっという間にスッキリ解消する方法まとめ

・反対側の脇の下のツボを強く抑える

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1259250622　より 引用 Orz〜

dyx3894hpdctxvz13864751さんのもの Orz〜

「ツボではないかも知れませんが、500mlのペットボトルをつまっている鼻と反対側の脇に挟むと、鼻づまりが緩和します。身体の側面を圧迫することでその反対側の交感神経が刺激され、発汗が促される仕組みを利用したものだそうです。例えば、右の脇に物を挟むことで身体の左側の交感神経が刺激され、鼻腔内の血管が収縮して、一時的に鼻づまりが緩和されるそうです。

*半側発汗 http://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/47826251.html の記事にに通じますね♪

ツボもあります。

* 画像：http://www.karacure.com/pub/F2D2D1E6-23F4-4831-9648-AA481A7C8D22/2 より 引用 Orz〜

ツボを押して【蓄膿症・頭痛・鼻炎】を和らげよう

鼻の両脇の迎香というツボをやや強くもみ込みます。そこから鼻筋に沿って、鼻の付け根の晴明まで指圧していきます。迎香は、鼻のすぐわきにあるツボです。鼻翼のわき、少しへこんだところです。指先を押し付け、回転するようにマッサージを続けると、鼻の通りがよくなってきます。
頭の後ろ側、うなじの両脇にある天柱と言うツボに、親指を当てたら最初は軽く、だんだんと力を加えていきながら刺激していくのも良いです。他にも鼻筋から頭のてっぺんまでで、押して痛い所や気持ちのいい所も刺激すると鼻づまりに効果的です。
顔への動脈・静脈が集中している鎖骨を指でたたく方法も鼻づまり解消に効果があるようです。」

・アロマセラピー

http://allabout.co.jp/gm/gc/19136/ より 引用 Orz〜

強い抗菌力で清潔に！「ユーカリ」

「

ユーカリ（Eucalyptus globulus）

フトモモ科の木本　葉を水蒸気蒸留して採油
ユーカリといえばコアラ。コアラはユーカリの葉を食べますがもともとユーカリはかなり刺激のある植物。どんな動物でも食べられるわけでない、ある意味、毒性も強い植物です。それだけ作用も強く、古くから薬用のある植物として珍重されてきました。木が立ってるだけで、その場の空気が浄化されて伝染病が流行しないと言われたことも。

*なぜだろ？…殺菌作用があるのか or 動物の免疫を活性化させるんだろか？...

ユーカリのアロマ効果

http://img.allabout.co.jp/gm/article/19136/eucalyputus.jpg

のど飴や膏薬、シップ剤などでおなじみのユーカリ。民間薬として代表的なもののひとつです。

ユーカリのエッセンシャルオイルは通常、数種あります。一番メジャーなものはグロブルス種という種類。強い抗菌力が知られています。感染症や風邪の予防に。エッセンシャルオイルに50%以上、含有される1.8ーシネオールという成分は痰を切るのに優れています。そのため風邪や花粉症による痰がからんだ咳、鼻づまりなどに効果的です。
日頃から、家族が集まるリビングなどに芳香浴で部屋に香らせておくと良いでしょう。のどが痛いときは、蒸気を吸入する方法での使い方を。

その他、筋肉の炎症を鎮めるため筋肉痛などへの効果も期待できます。スポーツ後のマッサージやシップに使うと良いでしょう。

*咳には浅田飴かカリン飴しか知らなかったり…^^;…

◆注意
香りが刺激的なため顔の周りでの使い方は目への刺激に注意。」

ふだんの診療で処方してる薬…^^

・葛根湯、小青竜湯

・キプレス

・ナゾネックス(ステロイド点鼻)

半側発汗と言えば…

横隔膜〜頭頸部間の熱性疾患は(たとえば肺炎とか)...その炎症が起こってる反対側の耳介が熱くなる(左右差)らしいことを知りましたぁ !! …24時間以内位の早期の段階だけらしいけど...臨床で確認してみたいと思います ^^