2014年02月13日の記事一覧 - 詳細表示

問題7014・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33947283.html より Orz～

　a＜b＜c を満たす自然数 a，b，c の最小公倍数が 10800 となる(a，b，c)は何通り？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33971466.html より Orz～

　まず、a＜b＜c の条件なしで考えます。

　10800＝2⁴･3³･5² だから、

　2 の指数について、a＝2^p･奇数，b＝2^q･奇数，c＝2^r･奇数で表せば、

　p，q，r はいずれも 0，1，2，3，4 の 5 通りで、その最大数が 4 だから、5³－4³＝61 通り、

　同様に、3 の指数については 4³－3³＝37 通り、5 の指数については 3³－2³＝19 通りだから、

　61･37･19＝42883 通りあります。

　次に２数 d，e の最小公倍数が 10800 となる組を考えると、2 の指数について、5²－4²＝9 通り、

　3 の指数については 4²－3²＝7 通り、5 の指数については 3²－2²＝5 通りだから、

　9･7･5＝315 通りあり、d＜e の条件をつけると、(315－1)/2＝157 通りになります。

　a＜b＜c の条件なしで、a，b，c のうち２つが等しい場合は

　(a，b，c)＝(e，d，d)，(d，e，d)，(d，d，e)，(d，e，e)，(e，d，e)，(e，e，d) だから、6 通りずつあり、

　157･6＝942 通りあります。

　また、a，b，c 全部が等しいのは a＝b＝c＝10800 の 1 通りだから、

　a＜b＜c の条件下では、(42883－942－1)/6＝6990 通りになります。

*熟読玩味ぃ～^^;v

わたしゃ...地道にベン図を描き...元の数をすべてが同じ因子を持ってる場合を引くという方法で…

結構大変な計算でした…^^;;

10800=2^4*3^3*5^2
2 のみを因数に持つ約数=4個
3・・・=3
5・・・=2
2&3・・・=12
3&5・・・=6
5&2・・・=8
2$3&5・・・=24

あと 1
これですべての約数の数=60
これらのベン図を見ながら…^^;

60C3-(48C3+45C3+40C3-36C3-30C3-32C3+24C3)
=34220-(17296+14190+9880-7140-4060-4960+2024)
=6990

・上記サイトコメ欄からたけちゃんさんのもの Orz～

この問題は，

・3つの数がいずれも10800の約数(5*4*3の60通り)であることから，その選び方を考える方針

・解答のように，2,3,5の指数部分が何通りあるか調べる方針の2つが可能であるように思います．

10800のかわりに2^A・3^B・5^Cだとして考えると，それぞれ式は

((A+1)(B+1)(C+1))C3-(A(B+1)(C+1))C3-((A+1)B(C+1))C3-((A+1)(B+1)C)C3
+(AB(C+1))C3+(A(B+1)C)C3+((A+1)BC)C3-(ABC)C3

(((A+1)^3-A^3)((B+1)^3-B^3)((C+1)^3-C^3)-6(((A+1)^2-A^2)((B+1)^2-B^2)((C+1)^2-C^2)-1)/2-1)/6

となり，見た目が全く違いますが，展開すると同じであることは確かめました．