アットランダム≒ブリコラージュ

7018：△の面積比...2つの角の二等分線...

問題7018・・・浮浪さんの「浮浪の館」 http://www.geocities.jp/hagure874/  より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

7017：やどかりさんのメモリアル700問目☆…大きな△の面積...

7017(祝やどかりさんの問題700問達成♪)

　BC＝4√65，CA＝20√2，AB＝20 の △ABC があって、その外部に、

　図のように、正方形BUVC，CWXA，AYZB を描き、

　UV，WX，YZ を３辺の一部とする △PQR をつくるとき、△PQR の面積は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33979011.html より Orz〜

[準備]

　C から AB におろした垂線の足を F とすれば、

　CF²＝CA²−AF²＝CB²−BF² 、BF²−AF²＝CB²−CA² 、(BF＋AF)(BF−AF)＝1040−800 、

　20(BF−AF)＝240 、BF−AF＝12 で、BF＋AF＝20 だから、AF＝4，BF＝16 、CF＝28 です。

　よって、△ABC＝20･28/2＝280 です。


[解答1]

　BC＝a，CA＝b，AB＝c，△ABC＝S とし、A，B，C から対辺におろした垂線の足を D，E，F とすれば、

　AD＝2S/a，BE＝2S/b，CF＝2S/c になります。

　AB，AC の延長と QR の交点をそれぞれ K，M とすれば、△ABC∽△AKM で、

　相似比は 2S/a：(2S/a＋a)＝1：{1＋a²/(2S)} ですので、

　K から MA におろした垂線の長さは (2S/b){1＋a²/(2S)} になります。

　KA の延長と RP の交点を N とすれば、△BCA∽△KRN で、

　相似比は 2S/b：〔(2S/b){1＋a²/(2S)}＋b〕＝1：{1＋a²/(2S)＋b²/(2S)} ですので、

　R から NK におろした垂線の長さは (2S/c){1＋a²/(2S)＋b²/(2S)} になります。

　また、△CAB∽△RPQ で、

　相似比は 2S/c：〔(2S/c){1＋a²/(2S)＋b²/(2S)}＋c〕＝1：{1＋a²/(2S)＋b²/(2S)＋c²/(2S)} です。

　よって、△PQR＝{1＋(a²＋b²＋c²/(2S)}²△ABC＝{1＋(a²＋b²＋c²/(2S)}²S になります。

　本問では、△PQR＝{1＋(1040＋800＋400)/(2･280)}²･280＝5²･280＝7000 です。


[解答2]

　[準備]より C から AB におろした垂線の足を F とすれば、AF＝4，BF＝16，CF＝28 ですので、

　xy平面上で A(−4，0)，B(16，0)，C(0，28)，F(0，0) とし、ベクトルを太字で表します。

　AC＝(4，28) だから、AX＝(−28，4) 、X(−32，4) になり、

　BC＝(−16，28) だから、BU＝(28，16) 、U(44，16) になります。

　PR の傾きは AC の傾きの 7 と等しいので、PRは (1/7)(y−4)＝x＋32 、

　QR の傾きは BC の傾きの −7/4 と等しいので、QRは −(4/7)(y−16)＝x−44 、

　辺々減じて (1/7)(y−4)＋(4/7)(y−16)＝76 、(y−4)＋4(y−16)＝532 、y＝120 、

　よって、Rの y座標は 120です。

　また、PQは y＝−20 だから、△PQRの PQを底辺とする高さは 120＋20＝140 です。

　△ABCの ABを底辺とする高さは CF＝28 で、△PQR∽△ABC の相似比は 140：28＝5：1 だから、

　△PQR＝(140/28)²△ABC＝5²･20･28/2＝7000 です。


[解答3]

　BC＝a，CA＝b，AB＝c，△ABC＝S とします。

　また、△PQR∽△ABC で、相似比を k：1 とすれば、△PQR＝k²S になり、

　薄緑色の四角形３個を集めてできる三角形も △ABC と相似になり、相似比は (k−1)：1 だから、

　その面積は、(k−1)²S です。

　従って、k²S−(k−1)²S＝a²＋b²＋c²＋S 、

　(2k−1)S＝a²＋b²＋c²＋S 、2kS＝a²＋b²＋c²＋2S 、

　k＝(a²＋b²＋c²)/(2S)＋1 になります。

　本問では、k＝{(4√65)²＋(20√2)²＋20²}/(2･280)＋1＝5 だから、

　△PQR＝5²･280＝7000 になります。


[解答4] たけちゃんさんの解答より

　△ABCの内部に点Dを，

　△DBC：△DCA：△DAB＝BC²：CA²：AB²＝13：10：5となるようにとる．

　Dから AB，AC に下ろした垂線の長さの比は AB：AC であり，

　Pから AB，AC に下ろした垂線の長さ(それぞれAY，AXと等しい)の比と同じだから，

　P，A，D は同一直線上にある．

　同様に，Q，B，D や R，C，D も同一直線上．

　△ABC＝280 であるから，△DBC＝(13/28)･280＝130 であり，

　DからBCに下ろした垂線の長さは 2･130/(4√65)＝√65＝BC/4.

　よって，△DBCと△DQRの相似比は，DからBC,QRに下ろした垂線長の比，

　すなわち (BC/4)：(BC/4+BC)＝1：5 であり，

　△DCAと△DRP，△DABと△DPQの相似比もこれと同じであるから，

　求める面積は，25△ABC＝7000. 

*この点Dは「ルモワーヌ点」と呼ばれるもののようです☆

http://ja.wikipedia.org/wiki/類似中線 参照

*わたしゃ...全体を縮めた[解答3]でした ^^

緑の部分だけで相似な△になり…
相似比が元の△のk倍とすると…
元の△の面積Sは…
s=2√65+10√2+10, a=4√65, b=20√2,c=20,
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))=280
2*緑の△=2*k^2*280=k*{(20√2)^2+(4√65)^2+20^2}
560*k=2240
から…k=4
けっきょく…280*(4^2+1)+2240=7000 

冬のウナギ…☆

昨日の晩飯…^^

これでこれ３度目♪

すっかり嵌っちゃってる…☆

また...他所のがおいしく思えなくなってしまうという不幸を一つ背負ってしまったってこと…^^;v

昨日のはさすがに雪と言っても薄下生並みで…^^

snow modeにしてひたすら職場を目指しました…!!