アットランダム≒ブリコラージュ

7020：頭の数列...

問題7020(ある数列 ^^)

3, (？), (？), (？), 24, 26, 31, 35, …

解答

いずれまた ^^

ゴールドバッハ・オイラーの定理…☆

やっと見つけたっていうか最近アップされたみたいですね♪

画像：http://www.clickideia.com.br/portal/mostrarConteudo.php?idPagina=33067 より 引用 Orz〜

http://ja.wikipedia.org/wiki/ゴールドバッハの定理 より Orz〜

「ゴールドバッハ・オイラーの定理（ゴールドバッハ・オイラーのていり、Goldbach–Euler theorem）はある自然数の逆数を項とする級数に関する定理であり、以下の式で表される。

http://upload.wikimedia.org/math/5/e/0/5e0e070ec12b357db58469190b523c0f.png

ただし、pは累乗数(1は含まない)を動くものとする。上の式は、累乗数より1小さい自然数の逆数の無限和が1に収束することを意味する。この定理は1737年にレオンハルト・オイラーがその論文中で初めて述べたものであるが、クリスティアン・ゴールドバッハが彼に宛てた手紙の中でオイラーに明らかにしたとされる（手紙は散逸している）。

ゴールドバッハによる証明は以下のように調和級数を用いたものである。まず http://upload.wikimedia.org/math/0/4/3/0436208bd9275d55e8074c4ac4a2240f.png を次のように定義する。

http://upload.wikimedia.org/math/4/6/4/4641ee23092e317ff76ef95a5358c8f6.png

続いて等比級数を用いて以下の式を与える。

http://upload.wikimedia.org/math/9/4/7/947ad164f21f6f579eb079a32c64a4df.png

(1)式からこの式を辺々引くと

http://upload.wikimedia.org/math/3/9/6/396a12b7c5f2d56662a9918565cc9413.png

となる。さらに等比級数を用いて

http://upload.wikimedia.org/math/d/3/1/d31df10b74744ab87a4a27a389a702f5.png

を導き、この両辺を(2)式から引けば

http://upload.wikimedia.org/math/d/a/4/da43ef1dd474930fbb590358f8daca68.png

このような操作を繰り返すと右辺の1以外の項は全て消えて以下のようになる。

http://upload.wikimedia.org/math/a/8/3/a83dd284cb9a6489e4bbc2278ad3e3aa.png

(2)式と左辺が等しくなるように移項すると

http://upload.wikimedia.org/math/6/0/d/60df1e3145bab71cf98bad18319bd227.png

右辺の項の分母には累乗数より1だけ小さな数は現れないことに注意。最後に(1)式から(3)式を引くと求める級数が得られる。

http://upload.wikimedia.org/math/f/3/5/f35f5d9b92fb9aaa61fb3ca398008452.png

ただし調和級数 http://upload.wikimedia.org/math/0/4/3/0436208bd9275d55e8074c4ac4a2240f.png は発散するので、この証明は現代的な観点では厳密なものとはいえない。」

*自然な発想に思えますね☆

一般に…

S=1/p^k+1/(p^k)^k+1/(p^k)^(2k)+…

(1/p^k)*S=1/(p^k)^k+1/(p^k)^(2k)+…

(1-1/p^k)*S=1/p^k

S=1/(p^k-1)

だから…

H(∞)-ΣS=Σ(1/累乗数)

p>=2 なので…

H(∞)-Σ(1/累乗数)=ΣS=1/(2^2-1)+1/(2^3-1)+1/(3^2-1)+1/(4^2-1)+…

を上手く使ってるわけね ^^;v

7019：頭の体操...正三角形内部の点...

問題7019・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/zukei/ より 引用 Orz〜

図のような高さが ６ｃｍ の正三角形の内部の点Ｐ から辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢへ垂線を引き、その長さをそれぞれ ｘｃｍ、ｙｃｍ、ｚｃｍ とします。ｘ、ｙ、ｚ がすべて整数であるような点Ｐは三角形ＡＢＣ の内部に何個存在しますか。

（早稲田中学　２００７年）

解答

・わたしの…

これは有名ね ^^

(x+y+z)*辺の長さ=辺の長さ*高さ

x+y+z=6

0も含めたら…3H6=8C6=8C2=28通り

or

000/00/0 のように、0を6個と/を2本の並べ方=8!/(6!2!)=28 通り

^^

スタバのインスタントカフィー ^^

スタバまで出かける時間もないもので…^^;

コンビニエントなこんなインスタントはたまにゃいい☆

あの琥珀色したリキッドも粉末化されちゃうと...ほんのわずかな漢方見たくなっちゃうんだわ…^^

エッセンスって…そんなものなんだな…?...