アットランダム≒ブリコラージュ

また分からなくなって来た…^^;

次わたしの黒番ね ^^

ご近所さんとの対戦の日でした…

最初こそ、中押しで写メしておいたものの..

その後惨敗…いいとこなし…^^;

何だか自信無くなって来た…

囲碁って難しぃ〜〜〜…

so…飽きることないんだけどねぇ…☆

形勢判断と死活のバランスがおかしくなってる...春はいつも狂い咲き…?…

頭のねじが緩んでるわ…!!

7025：球と平面の交線(円)上の格子点9個とその九角形の面積...

問題7025・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33967537.html より Orz〜

xyz空間において、x座標，y座標，z座標のすべてが整数の点を格子点と呼ぶことにします。

球面 x²＋y²＋z²＝50 と 平面 x＋y＋3z＝10 が交わってできる円に格子点は９個ありますが、

そのうち、x座標が最大のものの座標は？　

また、この格子点９個を頂点とする九角形の面積は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33988525.html より Orz〜

　xy＝{(x＋y)²−(x²＋y²)}/2＝{(10−3z)²−(50−z²)}/2＝5z²−30z＋25 、

　(x−y)²＝x²＋y²−2yz＝(50−z²)−2(5z²−30z＋25)＝−11z²＋60z＝z(60−11z) です。

　z(60−11z)≧0 より 0≦z≦60/11 、z＝0，1，2，3，4，5 、z(60−11z) が平方数だから、

　z＝0，1，3，4，5 で、x，y は t²−(10−3z)t＋(5z²−30z＋25)＝0 の解です。

　z＝0 のとき t²−10t＋25＝0 、(x，y，z)＝(5，5，0) 、

　z＝1 のとき t²−7t＝0 、(x，y，z)＝(7，0，1)，(0，7，1) 、

　z＝3 のとき t²−t−20＝0 、(x，y，z)＝(5，−4，3)，(−4，5，3) 、

　z＝4 のとき t²＋2t−15＝0 、(x，y，z)＝(3，−5，4)，(−5，3，4) 、

　z＝5 のとき t²＋5t＝0 、(x，y，z)＝(0，−5，5)，(−5，0，5) 、

　従って、x座標が最大のものの座標は (7，0，1) です。

　次に、求める九角形の面積を S，この九角形の xy平面への正射影の面積を T とします。

　xy平面，平面 x＋y＋3z＝10 の法線ベクトル (0，0，1)，(1，1，3) のなす角をθとすれば、

　内積が 3 で、法線ベクトルの大きさは 1，√11 だから、cosθ＝3/√11 になり、

　T＝S･cosθ より、S＝T/cosθ＝T(√11)/3 です。

　図より T を求めれば、T＝207/2 だから、S＝(69√11)/2 です。

*そっかぁ〜〜〜☆

xy平面で考えて、射影分倍すればよかったんだわ…^^;

平面の傾きcosθ倍がxy平面の面積…

その求め方の勉強になりましたぁ♪

わたしゃ...ここに書くのも憚られるようなごっつい計算をば…^^;;

x^2+y^2+z^2=50
50=49+1=25+25=3^2+4^2+5^2
格子点は…(±7,±1,0), (±5,±5,0), (±3,±4,±5)あり、
x+y+3z=10 を満たすものを考えると…
(x,y,z)=(7,0,1),(5,5,0),(0,7,1),(-4,5,3),(-5,3,4),(-5,0,5),(0,-5,5),(3,-5,4),(5,-4,3) 
x座標の最大のときは(7,0,1)

円は…
(-5-x)^2+(0-y)^2+(5-z)^2=r^2, (-5-x)^2+(3-y)^2+(4-z)^2=r^2,(-4-x)^2+(5-y)^2+(3-z)^2=r^2,(5-x)^2+(5-y)^2+(0-z)^2=r^2
で、計算させると…^^;
中心(10/11,10/11,30/11) 半径r=15√22/11

(x,y,z)・・・中心(10/11,10/11,30/11) 半径r=15√22/11
中心を原点とすると…
= 
(5,5,0)…=(45/11,45/11,-30/11) 
(7,0,1)…=(67/11,-10/11,-19/11)
(0,7,1)…=(-10/11,67/11,-19/11)
(5,-4,3)…=(45/11,-54/11,3/11)
(-4,5,3)…=(-54/11,45/11,23/11)
(3,-5,4)…=(23/11,-65/11,14/11)
(-5,3,4)…=(-65/11,23/11,14/11)
(-5,0,5)…=(-65/11,-10/11,25/11)
(0,-5,5)…=(-10/11,-65/11,25/11) 

図で考えると…zに関してx,yは対象なので…(5,5,0)から、xの大小順の円周上の隣り合う点でできる△4個の倍と最後にできる△1個分…

S=(1/2)√{｜AB↑｜^2｜AC↑｜^2-(AB↑・AC↑)^2}　　←探した…^^;v
ここで…
｜AB↑｜^2｜AC↑｜^2=r^4=15^4*22^2=24502500

(AB↑・AC↑)^2=
(45*67+45*(-10)+(-30)*(-19))^2=9828225
(67*45+(-10)*(-54)+(-19)*3)^2= 12236004
(45*23+(-54)*(-65)+3*14)^2=21040569
(23*(-10)+(-65)^2+14*25)^2=18879025
((-65)*(-10)+(-10)*(-65)+25^2)^2=3705625

√(24502500-9828225)=1155√11
√(24502500-12236004)=1056√11
√(24502500-21040569)=561√11
√(24502500-18879025)=715√11
√(24502500-3705625)=1375√11

√11*((1155+1056+561+715)*2+1375)=√11*8349

すべて11倍しているので…実際は…
8349*√11/(2*11^2)=69√11/2

調べて計算させてという春の嵐…^^;…

7024：球面上を最短距離移動での最長距離となる点の配置とその移動距離...

問題7024(アナロジー問 ^^)

大円の長さが1のとき、その球面上にn点(p1〜pn)が隣同士の距離が等間隔に配置されているとき、p1から一番近い点に次々移動してpnまでの移動距離が最大になるときの配置とその移動距離を求めよ。

解答

・わたしの…

考えても分かっちゃいないんですけど…^^;

正多面体のときで…

正六面体のときは…1+1/2+1+1/2+1+1/2=3+3/2=9/2 のはずだと…?

あとの場合はよく分からない…Orz…

画像：http://ds.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~math/toybox/polyhedron_soral/explanation/037_2.html より 拝借 Orz〜