アットランダム≒ブリコラージュ

6916：２円の交点を通る△...

問題6916・・・浮浪さんの「浮浪の館」http://homepage1.nifty.com/Hagure/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

やっとこ気付けました…^^;

6915：△のできる場合の数...

問題6915・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33895404.html より Orz〜

　1≦a≦24 ，1≦b≦20 を満たし、三角形の３辺の長さとなりうる自然数の組(a，b，c)は何通り？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33920565.html より Orz〜

　たとえば、a＝7，b＝4 のとき、7−4＜c＜7＋4 だから、(7＋4)−(7−4)−1＝2･4−1 通りです。

　このように、a，b の値が決まれば c の値は a＋b−|a−b|−1＝2･min(a，b)−1 通りです。

　一般に、1≦a≦m ，1≦b≦n を満たすとき、

　a≧k かつ b≧k を満たすのは (m＋1−k)(n＋1−k) 通りで、　

　a≧k＋1 かつ b≧k＋1 を満たすのは (m−k)(n−k) 通りですので、　

　min(a，b)＝k となる場合の数は、

　(m＋1−k)(n＋1−k)−(m−k)(n−k)＝m＋n＋1−2k となって、

　c の値は全部で、(m＋n＋1−2k)(2k−1)＝−4k²＋2(m＋n＋2)k−(m＋n＋1) 、

　m≧n の場合、k＝1，2，……，n として加えれば良いから、

　−4･n(n＋1)(2n＋1)/6＋2･(m＋n＋2)n(n＋1)/2−(m＋n＋1)n

　 ＝{−4(n＋1)(2n＋1)＋6(m＋n＋2)(n＋1)−6(m＋n＋1)}n/6

　 ＝mn²−(n＋1)n(n−1)/3 通りです。

　本問では、m＝24，n＝20 の場合で、24･20²−21･20･19/3＝6940 通りです。　

*似た感じでアプローチしたんだけどゴールできずじまい…^^;…がっくり...

0<=b-a<c<b+a
b=1…0<c<2…1
b=2…1<c<3…1
0<c<4…3
…
b=20…19<c<21…1
…
0<c<40…39
つまり…1+2^2+3^2+…+20^2=20*21*41/6=2870
実際はこの２倍なので、5740
すべて等しいときの+20=5760

b=21…20<c<22…1
19<c<23…3
…
1<c<41…39
…
b=24…23<c<25…1
…
4<c<44…39

4*20^2=1600

合計=5760+1600=7360
違うようね…^^;;…
どこがおかしいのか分からなかったり…Orz...