アットランダム≒ブリコラージュ

7032：頭の幾何…△の求積...

問題7032・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/chonanmon/ より 引用 Orz〜

緑の三角形は、すべて正三角形です。このとき、三角形（あ）の面積は何ｃ㎡ですか。

（東海中学　2006年）

解答

・わたしの…

こういうの思いつく人って尊敬しちゃう☆

(あ)=4*6-(4*3+3*3+4*1)/2

=24-25/2

=23/2cm^2

^^

7031：得点の場合の数...

問題7031・・・算チャレ！！http://www.sansu.org より Orz〜

マサルさん、トモエさん、ツヨシくん、マサヒコくん、フミコさん、フジヤマくんの６人が、２点満点の小テストを受けました。
　

６人は、テスト終了後の採点待ちの間に「６人の得点の合計が何点になるか」について、いろいろと考察しています。


マサルさん　「全員の合計点が３点になる場合の数は...えーと、５０通りだね」


フジヤマくん「全員の合計点が４点になる場合の数は、（　ア　）通りだ」


フミコさん　「全員の合計点が５点になる場合の数は、（　イ　）通りだね」


マサヒコくん「全員の合計点が６点になる場合の数は、（　ウ　）通りみたいだよ」


ツヨシくん　「全員の合計点が７点になる場合の数は、（　エ　）通かな」


トモエさん　「全員の合計点が８点になる場合の数は、（　オ　）通りだ！」


このとき、ア＋イ＋ウ＋エ＋オ（ア〜オの合計）はいくつになるか、求めてください。

解答

上記サイトより Orz〜

・Mr.ダンディさんのもの Orz〜

 

得点ａ点の場合と、失点ａ点の場合の数は同じなので

0点（12点）の場合.....1（通り）

1点’11点）の場合....6（通り）

2点（10点）の場合....2点が1人（6通り）、1点が2人（6C2＝15通り）より　21（通り）

3点（9点）の場合....50（通り）

よって

3＾6−(1+6+21+50)*2＝573　（通り）　としました。

 

 

・uchinyanさんのもの Orz〜

まず，すべての場合の数は，3^6 = 729 通り です。

そして，明らかに，点数の分布は 0 点 〜 12 点 で，6 点を中心に対称になっています。

そこで，

0 点 と 12 点の場合の数は 1 通りずつ，

1 点 と 11 点の場合の数は 6 通りずつ，

2 点 と 10 点の場合の数は 6 + (6 * 5)/2 = 21 通りずつ，

3 点 と 09 点の場合の数は 50 通りずつ，

なので，残りの，4 点 〜 8 点 の合計である ア 〜 オ の合計は，

ア + イ + ウ + エ + オ = 729 - (1 + 6 + 21 + 50) * 2 = 729 -156 = 573 通り

になります。

 

実は，高校数学になりますが，各点の場合の数は，

(1 + x + x^2)^6

を展開したときの各次数の項の係数になっています。

 

・マサルさんからのもの Orz〜

この問題、原題（の主題になる部分）は、「ｎ人の合計がｎ点であるような場合の数が、奇数であることを証明せよ」というものでした。

 

・今年から高齢者さんのものOrz〜

マサルさんの、「ｎ人の合計がｎ点であるような場合の数が、奇数であることを証明せよ」について、以下のようでどうでしょう。

ｋ(ｋ＜ｎ）点の場合と２ｎ−ｋ点の場合の数は同じ（○か×かの違いだけ）。

故に、ｋ点の場合と２ｎ−ｋ点の場合を加えた数は偶数。

全体は３＾ｎで奇数。

ここから、０〜ｎ−１点の場合とｎ＋１〜２ｎ点の場合の数を引けば奇数が残る。

ｎ点は、０〜２ｎ点の中央であり、残っているのはｎ点の場合であり、ｎ点の場合は奇数となる。

*So do I ☆

・鍵コメT様からのもの Orz〜

n人の合計がn点のとき，n人の失点の合計もn点．
このような場合のうち，n人が全員1点の場合以外は，
全員について，得点と失点を入れ替えた場合と対応させることで，
2通りずつをペアにできる．
よって，n人の合計がn点となる場合の数は奇数である．

*なるほどスマートね♪