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2014年02月22日
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図のように、どの２直線も平行でなく、どの３直線も１点で交わらないように４本の直線を描けば、
平面は 11個の部分に分かれ、そのうち面積が有限な部分は 3個あります。 どの２直線も平行でなく、どの３直線も１点で交わらないように 39本の直線を描けば、 面積が有限な部分は何個？ 解答
上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34005185.html より Orz〜
[解答1]
ｎ本の直線でできる面積が有限な部分の個数を an とすれば、a3＝1 です。 また、右上図のように、n＋1 本目の直線を引けば、もとからある n 本の直線と n 個の交点を作り、 となりどうしの交点の間で有限な部分は１個ずつ増えるので、 an+1＝an＋n−1 (n＝3，4，5，……) になります。 従って、 an＝a3＋2＋3＋……＋(n−2)＝(n−2)(n−1)/2 になります。 ( この式は n＝1，2 のときも成り立ちます ) 本問では n＝39 だから、(39−2)(39−1)/2＝703 個です。 [解答2] ｎ本の直線の場合、左下図，右下図のように、この図形を遠くから見ると、 面積が有限でない部分の個数は 2n であることが分かります。 [172] 直線による平面の分割( http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/18757093.html )のように、 ｎ本の直線による平面の分割は (n2＋n＋2)/2 個だから、 有限な部分は (n2＋n＋2)/2−2n＝(n2−3n＋2)/2＝(n−2)(n−1)/2 個です。 本問では n＝39 だから、(39−2)(39−1)/2＝703 個です。 [解答3] たけちゃんさん他の解答より 平面上の多角形の集合体(右下図)について、 最初に着目する多角形(水色)については、頂点と辺とが同数なので、 (面の数)＋(頂点の数)−(辺の数)＝1 になります。 それに、多角形(黄色)を１つずつ増やす場合、増やす辺の数は増やす頂点の数より 1 多いので、 何回繰り返しても、(面の数)＋(頂点の数)−(辺の数)＝1 になります。 ｎ本の直線でできる、面積が有限の部分全体について、 頂点の数は nＣ2＝n(n−1)/2 、 辺の数は 各直線に(n−2)本の辺ができることから n(n−2) 、 (面の数)＝1＋(辺の数)−(頂点の数)＝1＋n(n−2)−n(n−1)/2＝(2＋2n2−4n−n2＋n)/2 ＝(n2−3n＋2)/2＝(n−2)(n−1)/2 です。 本問では n＝39 だから、(39−2)(39−1)/2＝703 個です。 *ふつうは[解答2]で考えればいいですよね ^^
コメ欄で別解の存在を知り、思いついたのはオイラーの定理…[解答3]ですね ☆
この方法で考えたのは初です♪
f(0)=1, f(1)=2
f(n)=f(n-1)+n f(n)-f(n-1)=n f(n-1)-f(n-2)=n-1 … f(2)-f(1)=2 f(1)-f(0)=1 f(n)=n(n+1)/2+f(0)=n(n+1)/2+1 周りの区分は…大きな円で囲んでみれば…円周は2n個に分けられるので… けっきょく… 39*40/2+1-2*39=(40-1)*(20-2)+1=800+2-100+1=703 オイラーの定理を使ってみました…^^
オイラーの多面体定理(平面では面の数は-1なので)より、 （頂点の数:v）-(辺の数:e）＋(面の数:f)=1 v=交点+2n、e=直線の分割数+2n なので… v=nC2+2n 直線の分割数=n^2…e=n^2+2n f=e-v+1 じっさいの閉面の数=f-2n=e-v+1-2n=n^2-n(n-1)/2+1-2n 39^2-39*38/2+1-2*39=703 |
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正の整数の組(m,n)で条件
0<|n/m-0.4|<=1/100 を満たすもののうち、mが最も小さい(m,n)を求めよ。 解答
・わたしの…
-1/100<x-40/100<1/100
39/100<x<41/100…x=40/100 はだめ
39*10^k/10^(k+2)<x<41*10^k/10^(k+2)
なので…1000=2^3*5^2
40の倍数でない…25 or 2^3 だが、25の倍数は00 or 25 しかないので…2^3で割れるとき…
で…1000/8=125
m=125, n=400±8=392 or 408
(m,n)=(125,49), (125,51)
じっさいに…
49/125-2*25/125=-1/125
51/125-2*25/125=1/125
で満たしている…^^
もっとスマートに言えないのか知らん…?
↑
ぜんぜん駄目でしたぁ ^^; Orz…
↓
・鍵コメT様のもの Orz〜
39/100<n/m<41/100かつn/m≠2/5となるm,nを求めたいので，
まず39/100や41/100を連分数展開してみると， 39/100=1/(2+1/(1+1/(1+1/(3+1/(2+1/2))))), 41/100=1/(2+1/(2+1/(3+1/(1+1/(1+1/2))))) となります． 2/5=1/(2+1/2) より小さい分数で，分母が最小となるのは， 1/(2+1/(1+1/(1+1/4)))=9/23(=0.391…), 2/5=1/(2+1/2) より大きい分数で，分母が最小となるのは， 1/(2+1/(2+1/4))=9/22(=0.409…). 以上より，求めるm,nは，(m,n)=(22,9)ですね． ・鍵コメH様のもの Orz〜
(n/m)-(2/5)=(5n/5m)-(2m/5m)=(5n-2m)/5m
分子も分母も整数なことに注意して、絶対値が1/100以下、なおかつmを小さくすればいいので 5n-2m=±1、100<5m<200 となる(m,n)を探せばいいことになります m=21のときはうまくいかず、m=22のとき、n=9で条件を満たします *どちらも巧い発想ですねぇ☆
勉強になりましたぁ〜m(_ _)m〜v
ファレイ数列みたいな感じじゃ求められないのか知らん…?
↓
このファレイ数列で鍵コメT様が考えて下さいましたぁ〜m(_ _)m〜☆
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
分母の最小性の保証はないけれど，
2/5=4/10と41/100の間の分数として，(4+41)/(10+100)=45/110=9/22 を得ることは可能ですね． *おおっ!!…最小性の保証を担保できる理屈が欲しいけど...わたしには思いつけましぇん…^^;…Orz…
・友人からのもの…
与式の両辺を100m倍して、分母を消すと、
0<20|5n-2m|<=m
中辺は自然数で、かつ20の倍数だから、中辺と右辺の大小関係に注目して、m>=20
そこで、20以上のmを小さい順に試すと、
m=20 のとき、|5n-2m|=1 でこれを満たすnはない。
m=21 のとき、|5n-2m|=1 でこれを満たすnはない。
m=22 のとき、|5n-2m|=1 でこれを満たす nは、n=9
以上より、(m,n)=(22,9)
*これもありって方法ね ^^;v
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