アットランダム≒ブリコラージュ

7046：頭の塗り絵...

問題7046・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/2011/11/2002-e9a5.html

より 引用 Orz〜

円周上に何個かの○をならべます。一番上の○をＡとして、次の問に答えなさい。

（１）円周上に○が１０個ならんでいます。Ａの○に色をぬって、右回りに７番目のＢの○に色をぬります。

さらにＢから右回りに７番目のＣの○に色をぬり、以下同じことをくり返します。

色がぬられた○に当たれば終わりとするとき、何個の○に色をぬることができるか答えなさい。

（２）円周上に○が１４個ならんでいて、Ａの○に色をぬって、右回りに６番目の○に色をぬっていくことを

くり返すとき、何個の○に色をぬることができるか答えなさい。

（３）円周上に○が１０５個ならんでいて、Ａの○に色をぬって、右回りに１４番目の○に色をぬっていく

ことをくり返すとき、何個の○に色をぬることができるか答えなさい。

（久留米大学附設中学　2002年）

解答

・わたしの…

(1) 10/7=1…3

　10/3=3…1

　10/1=10

　 つまり...すべて塗れる

　じっさいに…0-7-4-1-8-5-2-9-6-3-(10=0) と10個すべて塗れる...

(2) 14/6=2…2

　14/2=7…つまり…7個塗れる

　じっさいに…0-6-12-4-10-2-8-(14=0)

(3) 105/14=7…7

　105/7=15…つまり…15個塗れる…

　じっさいに…0-14-28-42-56-70-84-98-7-21-35-49-63-77-91-(105=0)

^^

上手い方法がありそうなんだけど…?

↑

上手い方法がありましたぁ☆

↓

・鍵コメY様からのもの Orz〜

10/7＝10/7 ，14/6＝7/3 ，105/14＝15/2 のように、
既約分数に直すと、分子が答えですね。

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1) 7/10は既約分数
(2) 6/14=3/7.
(3) 14/105=2/15.
それぞのの分母が答で，(1) 10 (2) 7 (3) 15 となります．
それぞれの分数は，1つ塗り進むのに何周進むかを表し，
(1) なら10個塗って初めて整数周(3周)となるので10個塗ることになり，
ほかも同様です． 

*わたしもあとで気付いたんですが…^^;

n角形の対角線をk個とばかしに結んで元に戻る図を考えれば良かったんだとあとで思いついたり…^^;
最小公倍数をその飛ばす個数で割ったものになりますものね ^^
10,7→70/7=10
14,6→42/6=7
105,14→210/14=15
って具合になるわけでしたのね♪

7045：頭の幾何...正九角形内部の弧の長さの和...

問題7045・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/gokui/ より 引用 Orz〜

図２は、図１の図形の各頂点を中心として、半径３ｃｍのおうぎ形を描いたものです。

このとき、青い線の長さを求めなさい。

（北嶺中学　2005年、学習院女子中等科　2010年）

解答

・わたしの…

360/9=40

180-40=140

180-140=40

6*π*(9*140-18*40)/360

=π*(21-12)

=9π cm

^^

・鍵コメT様の華麗な解法 Orz〜

「図1」がないので，題意は明確には分かりませんが，
多分，外の九角形は正九角形なのでしょうね．

ただ，この問題では外の九角形が正九角形でなくても，円を順にたどって
円の半径，辺の長さがすべて3cmであることが分かり，
9個の内角が等しいとは限らなくても，青い部分の長さが求められます．

*図を作りましたぁ…^^

九角形をABCDEFGHIとし，まずAを中心とする円の一部の青い部分を考えます．
青い部分の両端をAと結んで扇形を作ると，
ABCを含むひし形，HIAを含むひし形に着目して，
中心角はBCとIHのなす角，つまり
∠A-(180°-∠B)-(180°-∠I)=∠I+∠A+∠B-360°
となります．9頂点のどれを中心とする場合も同様なので，
中心角の合計は3(∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I)-360°×9=540°.
よって，青い長さは，6π×(540/360)=9π(cm)となります．

7044：頭の整数...

問題7044・・・http://www.geocities.jp/fwns06422000/integ15.htm より 引用 Orz〜

ａ^２＋７ａｂ+１２ｂ^２＋ａ＋３ｂ＋９＝０を満たす整数ａ、ｂの組（ａ、ｂ）をすべて求めよ。

出題：東京医科歯科大学

解答

・わたしの…

(*またやったさんのご指摘で以下の赤字の部分間違ってました…^^; Orz〜)

a^2+a(7b+1)+12b^2+3b+9

=(a+(7b+1)/2)^2=-12b^2-3b-9+(7b+1)^2/4

(2a+7b+1)^2=-48b^2-12b+36+49b^2+14b+1

=b^2+2b+37=(b+1)^2+36

(2a+7b+1)^2-(b+1)^2

=(2a+8b+2)(2a+6b)=36

(a+4b+1)(a+3b)=9

正しくは…「-36」でしたぁ…Orz…

で...

(a+4b+1)(a+3b)=-9

で考えなきゃいけなくなったわけで…

以下は...±が交互で考え直して…青字の方が正しい答えになりますね Orz〜

a+4b+1=1, -1

a+3b=9, -9

a+4b=0, -2

a+3b=9, -9

(a,b)=(36,-9), (-30,7)　→(-36,9), (42,-11)

a+4b+1=9, -9

a+3b=1, -1

a+4b=8, -10

a+3b=1, -1

(a,b)=(-20,7), (26,-9)　→(-28,9), (34,-11)

a+4b+1=±3

a+3b=±3

a+4b=2, -4

a+3b=3, -3

(a,b)=(6,-1), (0,-1)　→(-18,5), (24,-7)

^^;v