アットランダム≒ブリコラージュ

7054：頭の順番...

問題7054(友人問)

すべての桁の数が1か2である整数を小さい順に並べて、次のような数列にする。

1,2,11,12,21,22,111,112,……..

1211212　はこの数列の何番目の数か。

解答

・わたしの…

よく眺めてたら...

2進数(変則だけど)そのもの… ^^

1211212

=2^6+2*2^5+2^4+2^3+2*2^2+2+2

=164 番目

でいいかな ^^

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「変則2進数」，面白いですね． *グラッチェ ^^♪

先頭に「2」を補い，数字を全部1ずつ減らすと，
変則でない2進数となります．
ただし，「1」が欠落しているので，
2進数を読んだら，1を減らす必要がありますが．

通常の2進数10100101は十進数で165であることからも，
同じ結論「164」が得られます．

*なるほどねぇ☆

7053：nとn^3 の対数の小数部分(仮数)の大小...

問題7053・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34000818.html より Orz〜

　1000未満の自然数 n のうち、次の条件を満たすものの個数は？

　3･log₁₀n の小数部分 が log₁₀n の小数部分 より小さい

　ガウス記号を用いて書けば、 3･log₁₀n−[3･log₁₀n]＜log₁₀n−[log₁₀n]　

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34023910.html より Orz〜

[解答1]

　3･log₁₀n−[log₁₀n³]＜log₁₀n−[log₁₀n] 、2･log₁₀n＜[log₁₀n³]−[log₁₀n] 、

　log₁₀n＜([log₁₀n³]−[log₁₀n])/2 ……(*)

　(*)を満たす n の個数を求める問題になります。

　(*)で、n＝x/10 とおけば、

　log₁₀(x/10)＜([log₁₀(x/10)³]−[log₁₀(x/10)])/2 、

　log₁₀x−1＜([log₁₀x³−3]−[log₁₀x−1])/2 、

　log₁₀x＜([log₁₀x³]−[log₁₀x])/2 となって、

　(*)で、n＝x としたものに一致します。

　従って、(*)を満たすか満たさないかは n＝x，x/10 において一致します。

　n が ３桁の数のとき、n³ は７〜９桁の数になるので、

　n³ が７桁の数のとき、すなわち、100≦n≦215 のとき、

　 log₁₀n＜(6−2)/2＝4 、n＜100 となり、該当する数はありません。

　n³ が８桁の数のとき、すなわち、216≦n≦464 のとき、

　 log₁₀n＜(7−2)/2＝5/2 、n＜100√10 、n≦316 となり、216≦n≦316 が該当します。

　n³ が９桁の数のとき、すなわち、465≦n≦999 のとき、

　 log₁₀n＜(8−2)/2＝3 、n＜1000 となり、すべてが該当します。

　３桁で 216≦n≦316，465≦n≦999 の 636個が該当するので、

　２桁では、22≦n≦31，47≦n≦99 の 63個が、１桁では n＝3，5≦n≦9 の 6個が該当します。

　従って、636＋63＋6＝705 個が該当します。


[解答2]

　1≦a＜10 ，k を自然数 として 正の数を a×10^k とすれば、

　log₁₀(a×10^k)＝log₁₀a＋k の小数部分は log₁₀a です。

　よって、「log₁₀n³ の小数部分 が log₁₀n の小数部分 より小さい」は、

　1≦A＜10 ，1≦a＜10 ， K，k を整数として

　n³＝A×10^K，n＝a×10^k と表すとき A＜a であることと同値です。

　1≦a＜³√10 のとき、A＝a³＜a になることはありません。

　³√10≦a＜³√100 のとき、A＝a³/10＜a より ³√10≦a＜√10 です。

　³√100≦a＜10 のとき、A＝a³/100＜a より ³√100≦a＜10 です。

　よって、条件は ³√10≦a＜√10 ，³√100≦a＜10 になり、

　2．15443469……≦a＜3．16227766…… ，4．64158883……≦a＜10 ですので、

　1000未満の自然数では n＝3，5≦n≦9，22≦n≦31，47≦n≦99，216≦n≦316，465≦n≦999 で、

　1＋5＋10＋53＋101＋535＝705 個です。 


[参考]

　一般に常用対数の整数部分を指標，小数部分を仮数といいます。

　1≦a＜10 のとき、0≦log₁₀a＜1 です。

　k を整数として、log₁₀(a×10^k)＝k＋log₁₀a だから、 指標が k で、仮数が log₁₀a になります。

　指標から桁数(指標＋1)が決まり、仮数から数字の配列が決まることになります。

*[解答2]はなるほどぉ☆わたしゃ...そのもどきでなんとか…^^;

[参考]の内容は…理解することもなくわたしゃ…わかってるつもりになってたわけだわ…^^;

小数部分(仮数)をmとすると…

0<3m-1<m or 0<3m-2<m
1/3<m<1/2
2/3<m<1

10^(1/3)<m<10^(1/2)..10<m^6<10^3…3=1個
10*10^(1/3)<m<10*10^(1/2)…22〜31=10個
100*10^(1/3)<m<100*10^(1/2)…216〜316=101個

ここまでで…112個

10^(2/3)<m<10…100<m^3<1000…5〜9=5個
10*10^(2/3)<m<10^2…47〜99=53個
100*10^(2/3)<m<10^3…465〜999=535個

全体の合計=112+5+53+535=705個

7052：整数問…n^3+1=p^2

問題7052・・・http://www.geocities.jp/fwns06422000/integ27.htm より 引用 Orz〜

関係式ｎ^３＋１＝ｐ^２を満たす自然数ｎ、素数ｐの組を全て求めよ。

出題：島根大学

解答

・わたしの…

p^2-1=n^3

(p+1)(p-1)=n^3

(p-1)p(p+1)=n^3*p

左辺は3!=6 の倍数…

p=2 のときはなし…

p=3 のとき…

3^2-1=2^3

じゃ安易すぎ…?…^^;

*これって...カタラン予想の式そのものじゃない？

↑

わたしの大ウソあるね…^^;…Orz…

↓

・鍵コメT様のもの Orz〜

(p-1)p(p+1)=n^3*pの左辺は確かに3!=6 の倍数ですが，
だからといってpが2か3とは限りませんね．

(n+1)(n^2-n+1)=p^2.
n=1 は不適，
n≧2のとき，n+1,n^2-n+1はともに1より大きいので，ともにpに限る．
n+1=n^2-n+1 より，n=2 (n≧2に注意)，p=n+1=3となって，条件を満たす．
よって，(n,p)=(2,3). 

・鍵コメN様のもの Orz〜

pが素数に限定されていますし、a,bも値が決まっているので、カタラン予想のごく特殊な例ですね。

スモークマンさんの証明は、左辺は6の倍数ですが、別にpの倍数になっている可能性を排除できていません。
よって、この場合p=2,3のみを調べるだけでは不十分です。

別解ですが、
n^3+1 = (n+1)(n^2-n+1)=p^2なので、

n+1は、1,p,p^2のいずれかになります。
nは自然数なので、n+1=1は却下。
n+1=p^2のときは、n^2-n+1=1より、n=1が解になりますが、これも式を満たすpが存在しないので却下。

n+1=pのときは、
n^3+1=(n+1)^2より、
n(n^2-n-2)=0

よって、n=2が解になり、このときp=3 

*なるほどぉ〜☆

http://ja.wikipedia.org/wiki/カタラン予想 より Orz〜

「カタラン予想とは、1844年にベルギー人の数学者・Eugène Charles Catalanが提唱した予想である。2002年にプレダ・ミハイレスクによりその完全な証明が行われた。2005年に、自身で証明を簡単化した。

画像：http://www.uni-math.gwdg.de/preda/ より 引用 Orz〜

次の不定方程式が存在する場合、

x^a − y^b = 1

x, a, y, b > 1

上記を満たす自然数解の組み合わせは

x = 3, a = 2, y = 2, b = 3

だけであるというものである。」

海鮮中華丼...

お店が閉まる30分くらい前だったから...お客さんまばら…

一人飯はもうかれこれ何年になるかいなぁ…^^;…

１日の〆の餃子の肉汁で脳も喜ぶ…☆