アットランダム≒ブリコラージュ

6978：頭の図形...正方形内の分割された面積が等しいとき...

問題6978・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

図のように、１辺が１１ｃｍの正方形を２本の直線で４つの部分に分けたら、四角形ＡＢＣＤと三角形ＣＥＦの面積が等しくなりました。辺ＡＢの長さは何ｃｍですか？

(２０１４年の女子学院中学の入試問題から)

解答

・わたしの…

やっとこさ分かりましたぁ…^^;…頭硬いわ…

△の面積=y とすると…

^^;v

6977：水のやり取り...

問題6977・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33916716.html  より Orz〜

容器Ａには 72g ，容器Ｂには Wg の水が入っており、

「容器Ａの水の 1/3 を容器Ｂに移したあと、容器Ｂの水の 1/3 を容器Ａに移す」という操作を

何回か繰り返すと、容器Ａと容器Ｂに入っている水の量が等しくなりました。

操作の回数が最多になるときの Wの値は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33943108.html より Orz〜

[解答1]

　水の量は g(グラム)で表すことにします。

　ｎ回の操作をした後の、容器Ａの水の量を a_n ，容器Ｂの水の量を b_n とします。

　容器Ａの水の 1/3 を容器Ｂに移すと、

　容器Ａの水の量は (2/3)a_n ，容器Ｂの水の量は (1/3)a_n＋b_n 、

　容器Ｂの水の 1/3 を容器Ａに移すと、

　容器Ａの水の量は (2/3)a_n＋(1/3){(1/3)a_n＋b_n}＝(7/9)a_n＋(1/3)b_n ，

　容器Ｂの水の量は (2/3){(1/3)a_n＋b_n}＝(2/9)a_n＋(2/3)b_n だから、

　a_n+1＝(7/9)a_n＋(1/3)b_n ， b_n+1＝(2/9)a_n＋(2/3)b_n です。

　a_n+1＋b_n+1＝a_n＋b_n ， 2a_n+1−3b_n+1＝(4/9)(2a_n−3b_n) 、

　よって、｛a_n＋b_n｝は定数 ，｛2a_n−3b_n｝は公比 4/9 の等比数列となり、

　a_n＋b_n＝72＋W ，2a_n−3b_n＝(4/9)ⁿ(2･72−3W) 、

　3a_n＋3b_n＝216＋3W ，2a_n−3b_n＝144(4/9)ⁿ−3W(4/9)ⁿ 、

　5a_n＝216＋3W＋144(4/9)ⁿ−3W(4/9)ⁿ 、

　ここで、a_n＝(72＋W)/2 とおいて、両辺を２倍すれば、

　5(72＋W)＝432＋6W＋288(4/9)ⁿ−6W(4/9)ⁿ 、{6(4/9)ⁿ−1}W＝72{4(4/9)ⁿ＋1} 、

　ここで、(4/9)²＝16/81＞1/6 ，(4/9)³＝64/729＜1/6 だから、最大の自然数ｎは n＝2 になり、

　(6･16/81−1)W＝72(4･16/81＋1) 、(6･16−81)W＝72(4･16＋81) 、W＝696 です。

☆ n＝1 のときは、(6･4/9−1)W＝72(4･4/9＋1) 、(6･4−9)W＝72(4･4＋9) 、W＝120 です。


[解答2]

　容器Ａの水の量が a ，容器Ｂの水の量が b になる前、

　容器Ｂの水の量は (3/2)b ，容器Ａの水の量が a−(1/2)b で、その前は、

　容器Ａの水の量は (3/2){a−(1/2)b}＝(3/2)a−(3/4)b ，

　容器Ｂの水の量は (3/2)b−(1/2){a−(1/2)b}＝−(1/2)a＋(7/4)b ですので、

　１回の操作の前は、容器Ａの水の量は (3/2)a−(3/4)b ，容器Ｂの水の量は −(1/2)a＋(7/4)b 、

　すなわち、容器Ａ，容器Ｂの水の量の比は (6a−3b)：(−2a＋7b) だったことになります。

　1：1 から逆にたどって、 1：1 ← 3：5 ← 3：29 ← (−69)：197 だから、

　２回の操作の前は、 72：W＝3：29 、W＝696 です。

*漸化式が作れない不甲斐ないわたしゃ…無理矢理…[解答2]にならざるをえませんでした…^^;

陸奥(みちのく)一人旅でしたが…2回でラッキー ^^;v

等しいときから逆に考える…
1-1になる前は…x*(2/3)=1…x=3/2,y=1/2…つまり…
(3)-1…その前は…x*(2/3)=1…x=3/2,y=4-3/2=5/2…つまり…
5-(3)…x(2/3)=5…x=15/2…y=8-15/2=1/2
(15)-1…16-3/2=29/2
29-(3)…x(2/3)=29…x=87/2…32-87/2<0...もう無理なので…
最初が、(3)から1/3移動させてるから…こいつが72のときなら可能 ^^
つまり…29*(72/3)=696

6976：隣同士の数が異なる５桁の数...

問題6976・・・算チャレ！！http://www.sansu.org より Orz〜

次の条件を満たすような、５ケタの整数を考えます。


・下一桁の数は０である。


・隣り合うケタの数字は、互いに異なっている。
　

では、このような整数はいくつ考えられるでしょうか。

解答

上記サイトより Orz〜

今年から高齢者さんのもの Orz〜

０だけが特別なので、０とそれ以外を分けて考えました。

５桁目＿＿＿＿４桁目＿＿＿＿３桁目＿＿＿＿２桁目＿＿＿＿１桁目

９とおり＿＿＿＿０：１とおり＿＿９とおり＿＿＿＿０：１とおり＿＿０＿＿＿×

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿８とおり＿＿＿＿０＿＿＿9*9*8＝６４８　

＿＿＿＿＿＿＿８とおり＿＿＿＿０：１とおり＿＿９とおり＿＿＿＿０＿＿＿9*8*9＝６４８

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿８とおり＿＿＿０：１とおり＿＿０＿＿＿×

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿８とおり＿＿＿＿０＿＿＿9*8*8*8＝４６０８

合計＝５９０４

 

・ わたしの…

 

下一桁から…

1*9*(8*(8*8+1*9)+1*(9*8))

以外に面倒…^^;...

 

・ 圭太さんのもの Orz〜

 

隣り合う数字が互いに異なる場合をAn、1の位が0の場合をBnとする。

Anは、最大の桁が0以外で良いので9通り、以降上位の桁の数字以外となっていくので、An=9^n

n=1の時、B1は、正整数にならないのでB1=0

n≧2の時、ｎ桁から10の位までを一つの数と考えると

10の位が0にならないこと以外は、An=9^n　の時の条件を満たすので

Bn=An-1-Bn-1 (n≧2)

よって、Bn=-Bn-1+9^(n-1)(n≧2)

と言う漸化式が成り立つ。ここで等比数列の形を考え

Bn-9^n/10=-{Bn-1-9^(n-1)/10}

と変形できるので

Bn-9^n/10=(-1)^(n-1)*(B1-9/10) (n≧2)

B1=0より

Bn=(1/10)*{9^n+9*(-1)^n} (n≧2)

n桁の時、(1/10)*{9^n+9*(-1)^n}より (n≧2)

(1/10)*{9^5+9*(-1)^5}=5904　通り。

 

・ まるケンさんのもの Orz〜

 

隣り合う数字が異なるn桁の数について、

下一桁が0の数の個数をa(n)、下一桁が0以外の数の個数をb(n)とすると、

a(1) = 0

b(1) = 9

a(n+1) = b(n)

b(n+1) = a(n)*9 + b(n)*8

 

・ わたしの…[別解]

 

abcd0

逆から考えたら…dcba 4桁のもの…9^4

最後のaが0ではいけないから…その逆の bcd 3桁の9^3を引いて…

最後のdが0ではいけないので…その逆の cb 2桁の9^2 を加えて、

そのまた最後の cが0ではいけないので…その逆の c 1桁の9^1 を引く…

そんな繰り返しになるので…?

9^4-9^3+9^2-9=5904

　↑

直感的にはいいと思える ^^