アットランダム≒ブリコラージュ

7187：頭の面積...

問題7187・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

１辺が８ｃｍの正方形ＡＢＣＤがあります。

図のようにそれぞれの辺の上に点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈをとり、ＨとＦを結びました。

次にＨとＦを結んだ線の上に点Ｐをとり、ＰとＥ、Ｇを結ぶと、

四角形ＡＥＰＨの面積は６ｃ㎡となりました。四角形ＰＦＣＧの面積を求めなさい。

（第４回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より）

解答

・わたしの…

7186：頭の線分比...

問題7186・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

図のように、たて３ｃｍ、横４ｃｍの長方形の周上に、１ｃｍごとに点を打ちました。

このとき、ＰＱの長さとＱＲの長さの比は何対何ですか。

（開智中学　２０１４年）

解答

・わたしの…

^^

↑

大ウソでしたぁ…^^;…Orz…

↓

・鍵コメT様のもの Orz〜

△PBR=△PRE=4は正しくありません．
△PBRは，底辺が3，高さが3より，明らかに面積は9/2です．
△PREの面積は，□CRPD-(△DEP+△CER)=6-(3/2+1)=7/2,
よって，BQ:QE=△PBR:△PRE=9:7であり，
△QBR:△QRE=9:7で，△BER=3から，
△BQR=27/16 (ついでに △QRE=21/16 ですが，求める必要はありません)
△BPQ=9/2-27/16=45/16となって，PQ:QR=△BPQ:△BQR=45:27=5:3.

図で，BEを3/2倍に伸ばす方が楽かもしれません．
伸ばした点をFとすると，FはADの延長上で，AF=6,PF=5であり，
PQ:QR=PF:BR=5:3です．

*そっか…♪

どうしてどうしてこの図を考えなかったのか悔やまれます…^^;

7185：頭の面積...

問題7185・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

図の黄色部分の面積は何ｃ㎡でしょうか？

（慶應中等部　２００５年　改題）

解答

・わたしの…

3*14*(1/2)*(4/(3+4))=12 cm^2

^^

7184：区間内の最大値と最小値の差の最小値...

問題7184・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34165440.html  より Orz〜

f(x)＝x³−6x²＋9x (a≦x≦a＋1) の最大値と最小値の差を g(a) とするとき、

g(a) の最小値は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/34188574.html より Orz〜

　まず、f'(x)＝3x²−12x＋9＝3(x−1)(x−3) だから、

　f(x) の 極大値は f(1)＝4 ，極小値は f(3)＝0 です。

　b＝f(a＋k) のグラフを 0≦k≦1 の範囲で k を変化させて描けば、

　図のような帯状のグラフになり、

　各 a に対して、いちばん上が最大値，いちばん下が最小値だから、この幅が g(a) です。

　いちばん狭い a は 図の ↑ で示した所で、これは b＝f(a＋1) と b＝f(a) との交点の a の値です。

　(a＋1)³−6(a＋1)²＋9(a＋1)＝a³−6a²＋9a 、

　3a²＋3a＋1−6(2a＋1)＋9＝0 、3a²−9a＋4＝0 、a＝(9±√33)/6 のとき、

　g((9−√33)/6)＝4−f((9−√33)/6)＝4−{2＋(2√33)/9}＝2−(2√33)/9 、

　g((9＋√33)/6)＝f((9＋√33)/6)−0＝2−(2√33)/9 、

　どちらを計算しても、g(a) の最小値は 2−(2√33)/9 です。

*同様に考えましたが…計算が…^^;

一番傾きが少ないのは…f'=0付近…
(x^3-6x^2+9x)'=3x^2-12x+9=0
(x-1)(x-3)=0
つまり…x=1,3 のところが一番平坦...
(x+1)^3-6(x+1)^2+9(x+1)=x^3-6x^2+9x
から…
3x^2-9x+4=0
から…
x=(9±√33)/6

変曲点に対し対称なので...片方で考える…
(9-√33)/6=0.542…<1
なので…そこから+1の範囲にf'(1)=0 があるから、
差の最小値=f(1)-f((9-√33)/6)
(9-6x)^2=33…3x^2-9x+4=0
(x^3-6x^2+9x)/(3x^2-9x+4)=(x/3-1)(3x^2-9x+4)+4-4x/3
つまり…
f(1)-f((9-√33)/6)=4-(4-(4/3)*(9-√33)/6)
=(4/3)(9-√33)/6
=2-2√33/9

7183：場合の数...7人で2試合...

問題7183・・・算チャレ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

ある学校では、テニス部員が７人いますが、コートが１面しかありません。
　そこで、毎日の練習では、７人全員が、異なる相手と１試合ずつ、合計２試合できるように組み合わせを考えることにしています。
　

それでは、このような対戦相手の組み合わせは何通り考えられるでしょうか。（試合をする順番については考えないものとします）


解答

ライブ問にてまたいずれ ^^